Prove que lim x p f(x)=0 se, e somente se, lim x p|f(x)|=0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função e queremos provar que o limite dela quando se aproxima de é igual a zero, ou seja, . A questão diz que isso é verdadeiro se e somente se o limite do valor absoluto de , , também for igual a zero.
Então, vamos precisar entender sobre limites e valor absoluto. Um limite basicamente descreve o comportamento de uma função perto de um ponto específico. Já o valor absoluto, representado por , nos dá a distância de um número até zero, ignorando o sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que se limx to p f(x) = 0 implies limx to p |f(x)| = |0| = 0 , então .
Sabemos que para qualquer número real , . Então, se está se aproximando de 0, o valor absoluto de também deve estar se aproximando de 0, já que não pode ser negativo e está “seguindo” para zero.
Matematicamente:

Passo 3

Agora, vamos fazer o inverso: provar que se limx to p |f(x)| = 0 implies limx to p f(x) = 0 , então .
O valor absoluto de sendo zero significa que está se aproximando de zero sem considerar o sinal. Mas isso também implica que em si está se aproximando de zero, já que o único número cujo valor absoluto é zero é o próprio zero.
Ou seja, se está indo para zero, então também deve estar indo para zero.
Matematicamente:

Resposta

Portanto, mostramos que se, e somente se, . Isso prova a equivalência entre os dois limites.

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