Prove que
se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
e queremos provar que o limite dela quando
se aproxima de
é igual a zero, ou seja,
. A questão diz que isso é verdadeiro se e somente se o limite do valor absoluto de
,
, também for igual a zero.
Então, vamos precisar entender sobre limites e valor absoluto. Um limite basicamente descreve o comportamento de uma função perto de um ponto específico. Já o valor absoluto, representado por
, nos dá a distância de um número até zero, ignorando o sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que se
, então
.
Sabemos que para qualquer número real
,
. Então, se
está se aproximando de 0, o valor absoluto de
também deve estar se aproximando de 0, já que
não pode ser negativo e está “seguindo”
para zero.
Matematicamente:
Passo 3
Agora, vamos fazer o inverso: provar que se
, então
.
O valor absoluto de
sendo zero significa que
está se aproximando de zero sem considerar o sinal. Mas isso também implica que
em si está se aproximando de zero, já que o único número cujo valor absoluto é zero é o próprio zero.
Ou seja, se
está indo para zero, então
também deve estar indo para zero.
Matematicamente:
Resposta
Portanto, mostramos que
se, e somente se,
. Isso prova a equivalência entre os dois limites.