Use coord. esféricas para calcular integral triplaE f(x, y, z) d V, onde f e o sólido E são:
f(x, y, z)=z e E está entre as esferas x^++y^2+z^2=1 e x^++y^2+z^2=4 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. A função que vamos integrar é $ f(x, y, z) = z $ e a região $ E $ está entre duas esferas: uma de raio 1 ($ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 f(x, y, z) = z x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $) no primeiro octante, ou seja, onde $ x $, $ y $ e $ z $ são positivos. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas esféricas e como configurar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores: $ \rho $ (a distância do ponto até a origem), $ \theta $ (o ângulo no plano $ xy $ a partir do eixo $ x $) e $ \phi $ (o ângulo a partir do eixo $ z $). A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:
rho
theta
xy
Vamos usar essas relações para transformar nossa integral.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para $ \rho $, $ \theta $ e $ \phi $.
  • Para $ \rho $: A região está entre duas esferas de raios 1 e 2, então $ \rho $ vai de 1 a 2.
  • Para $ \theta $: Como estamos no primeiro octante, $ \theta $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{2} $ (90 graus).
  • Para $ \phi $: Também no primeiro octante, $ \phi $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 4

A próxima etapa é escrever a função $ f(x, y, z) = z $ em coordenadas esféricas. Como $ z = \rho \cos{\phi} $, nossa função fica:
f(x, y, z) = z
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
z = rho cosphi

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla com todos os componentes:
integral triplaE z , dV = integral0^pi2 integral0^pi2 integral1^2 rho cosphi cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando a expressão dentro da integral:
rho cdot rho^2 = rho^3
cosphi cdot sinphi = 12 sin2phi
Então, a integral fica:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral1^2 rho^3 cdot 12 sin2phi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo começando por $ \rho $:
rho

Passo 7

Agora, integramos em relação a $ \phi $:
phi

Passo 8

Por fim, integramos em relação a $ \theta $:
theta

Resposta

Multiplicando todos os resultados:
154 times 12 times pi2 = 1516 pi
Portanto, o valor da integral tripla é $ \frac{15}{16} \pi $.

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