Use coord. esféricas para calcular
, onde
e o sólido
são:
e
está entre as esferas
e
no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. A função que vamos integrar é $ f(x, y, z) = z $ e a região $ E $ está entre duas esferas: uma de raio 1 ($ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1
x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $) no primeiro octante, ou seja, onde $ x $, $ y $ e $ z $ são positivos. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas esféricas e como configurar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores: $ \rho $ (a distância do ponto até a origem), $ \theta $ (o ângulo no plano $ xy $ a partir do eixo $ x $) e $ \phi $ (o ângulo a partir do eixo $ z $). A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:
Vamos usar essas relações para transformar nossa integral.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para $ \rho $, $ \theta $ e $ \phi $.
- Para $ \rho $: A região está entre duas esferas de raios 1 e 2, então $ \rho $ vai de 1 a 2.
- Para $ \theta $: Como estamos no primeiro octante, $ \theta $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{2} $ (90 graus).
- Para $ \phi $: Também no primeiro octante, $ \phi $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{2} $.
Passo 4
A próxima etapa é escrever a função $ f(x, y, z) = z $ em coordenadas esféricas. Como $ z = \rho \cos{\phi} $, nossa função fica:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla com todos os componentes:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo começando por $ \rho $:
Passo 7
Agora, integramos em relação a $ \phi $:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a $ \theta $:
Resposta
Multiplicando todos os resultados:
Portanto, o valor da integral tripla é $ \frac{15}{16} \pi $.