Utilize a transformação x=u3, y=v2 para calcular a integral dupla
integral duplaR sen(9 x^2+4 y^2) d A
onde R é a região limitada pela elipse 9 x^2+4 y^2=1.

Passo 1

Temos a integral dupla integral duplaRsinl(9x^2+4y^2r),dA sobre a região R limitada pela elipse 9x^2+4y^2=1. O conteúdo envolve transformação de variáveis, cálculo de jacobiano e uso de coordenadas polares.

Passo 2

Aplicamos a transformação x=tfracu3, y=tfracv2. Calculamos o jacobiano:
J = det partial x/partial u & partial x/partial v partial y/partial u & partial y/partial v = det1/3 & 0 0 & 1/2 = tfrac16
Sob essa transformação, a elipse 9x^2+4y^2=1 vira o disco u^2+v^2=1 no plano (u,v). Assim a integral se transforma em
integral duplau^2+v^2<=1sin(u^2+v^2)cdottfrac16,du,dv

Passo 3

Agora usamos coordenadas polares u=rcostheta, v=rsintheta. Temos u^2+v^2=r^2 e du,dv = r,dr,dtheta. A integral fica
16integral0^2pi!integral0^1sin(r^2),r,dr,dtheta

Passo 4

Para calcular integral0^1sin(r^2),r,dr, fazemos a substituição t=r^2, de modo que dt=2r,dr e
integral0^1sin(r^2),r,dr = 12integral0^1sin t,dt = 12l[-cos tr]0^1 = 1-cos12
Substituindo de volta e integrando em theta:
16cdot 2picdot1-cos12 = pil(1-cos1r)6

Resposta

pil(1-cos1r)6

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