Q 8 (Integração Imediata) Encontre a família de primitivas para cada função e em seguida derive para verificar a sua resposta.
integral x cdot raiz[3]x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a família de primitivas da integral
integral x cdot raiz[3]x^2 ,dx
Isso envolve usar o método de integração imediata (regra da potência) e em seguida verificar por derivação.

Passo 2

Reescrevemos a raiz cúbica em forma de potência. Como
raiz[3]x^2 = (x^2)^tfrac13 = x^tfrac23,
o integrando fica
x cdot x^tfrac23 = x^1 + tfrac23 = x^tfrac53

Passo 3

Aplicando a regra da potência integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C, com n=tfrac53, temos
integral x^tfrac53,dx = x^tfrac53 + 1tfrac53 + 1 + C = x^tfrac83tfrac83 + C = 38,x^tfrac83 + C

Passo 4

Vamos verificar por derivação:
ddxl(tfrac38,x^tfrac83 + Cr) = tfrac38cdot tfrac83,x^tfrac83-1 = x^tfrac53 = xcdot raiz[3]x^2,
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

F(x) = 38,x^tfrac83 + C

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