Prove que se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L então existe uma vizinhança de a na qual f é limitada.

Passo 1

O enunciado diz que
\lim_{x\to a}f(x)=L
e pede para mostrar que existe uma vizinhança de a em que f é limitada. Vamos usar a definição de limite (ε–δ) e depois aplicar a desigualdade triangular para obter um majorante para \bigl|f(x)\bigr|.

Passo 2

Pela definição de \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L, para \varepsilon=1 existe \delta>0 tal que, sempre que
0<|x-a|<\delta,
temos
|f(x)-L|<1.

Passo 3

Da desigualdade anterior e da desigualdade triangular segue que, para todo x com 0<|x-a|<\delta,
|f(x)| = |f(x)-L+L|\le |f(x)-L| + |L| < 1 + |L|.

Passo 4

Portanto, em todo o intervalo
(a-\delta,\;a+\delta)\setminus\{a\}
temos
|f(x)|<1+|L|,
ou seja, f é limitada nessa vizinhança de a. Se f(a) estiver definida, basta colocar
M = \max\bigl\{|f(a)|,\;1+|L|\bigr\}
para cobrir também o ponto x=a.

Resposta

Existe \delta>0 tal que, para todo x em (a-\delta,a+\delta), vale |f(x)|\le M com M=\max\{|f(a)|,1+|L|\}, logo f é limitada nessa vizinhança de a.

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