Prove que se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L então existe uma vizinhança de a na qual f é limitada.
Passo 1
O enunciado diz que
\lim_{x\to a}f(x)=L
e pede para mostrar que existe uma vizinhança de a em que f é limitada. Vamos usar a definição de limite (ε–δ) e depois aplicar a desigualdade triangular para obter um majorante para \bigl|f(x)\bigr|.
Passo 2
Pela definição de \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L, para \varepsilon=1 existe \delta>0 tal que, sempre que
0<|x-a|<\delta,
temos
|f(x)-L|<1.
Passo 3
Da desigualdade anterior e da desigualdade triangular segue que, para todo x com 0<|x-a|<\delta,
|f(x)| = |f(x)-L+L|\le |f(x)-L| + |L| < 1 + |L|.
Passo 4
Portanto, em todo o intervalo
(a-\delta,\;a+\delta)\setminus\{a\}
temos
|f(x)|<1+|L|,
ou seja, f é limitada nessa vizinhança de a. Se f(a) estiver definida, basta colocar
M = \max\bigl\{|f(a)|,\;1+|L|\bigr\}
para cobrir também o ponto x=a.
Resposta
Existe \delta>0 tal que, para todo x em (a-\delta,a+\delta), vale |f(x)|\le M com M=\max\{|f(a)|,1+|L|\}, logo f é limitada nessa vizinhança de a.