Uma população tem desvio padrão igual a 10.
a) Que tamanho deve ter uma amostra para que, com nível de significância de 92 \%, o erro em estimar a média seja de uma unidade?
b) Supondo-se colhida uma amostra no caso anterior, qual o intervalo de confiança, se a média amostral for de 50 ?

Passo 1

O enunciado diz que a população tem desvio padrão conhecido \sigma=10.
a) Queremos escolher o tamanho da amostra n de forma que, com nível de confiança de 92\%, o erro máximo na estimativa da média seja E=1.
b) Admitindo a amostra do item (a) e obtendo média amostral \bar x=50, vamos calcular o intervalo de confiança de 92\% para a média.

Passo 2

Para o item (a), usamos a fórmula do erro máximo ao estimar a média quando \sigma é conhecido:
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
Aqui o nível de confiança é 0,92, logo \alpha = 1 - 0,92 = 0,08 e \alpha/2 = 0,04. O quantil crítico z_{\alpha/2} satisfaz
P\bigl(Z > z_{0,04}\bigr) = 0,04,
onde Z\sim N(0,1). Pela tabela normal, z_{0,04}\approx 1,75.

Passo 3

Isolando n na fórmula de E, temos
n = \left(\,z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{E}\right)^{2}.
Substituindo z_{0,04}=1,75, \sigma=10 e E=1:
n = \bigl(1,75 \times \tfrac{10}{1}\bigr)^{2} = 17,5^{2} = 306,25.

Passo 4

Como n deve ser um número inteiro e para garantir o erro máximo, arredondamos para cima:
n = 307.

Passo 5

Para o item (b), o intervalo de confiança de 92\% para a média é dado por
\bar x \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Com \bar x=50, z_{0,04}=1,75, \sigma=10 e n=307, o termo de erro já vale E=1. Logo o intervalo é
50 \pm 1 = (49,\;51).

Resposta

(a) n = 307
(b) Intervalo de confiança de 92\%: (49,\;51)

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