Parte 2) [25% dos pontos] Seja n um inteiro \geq 2. Se definimos
S_{n}=\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}^{n} x d x para n=0,1,2, \ldots
  • Parte 2a: Prove, a partir da Parte 1, que S_{n}=\frac{n-1}{n} S_{n-2} para n \geq 2.
  • Parte 2b: Calcule o valor da integral simples, para \boldsymbol{n}=\mathbf{0}, \boldsymbol{S}_{0}= \square

Passo 1

O enunciado define, para todo inteiro n\ge2,
S_{n}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx
e pede:
  1. Provar a partir da Parte 1 que
S_{n}=\frac{n-1}{n}\,S_{n-2}.
  1. Calcular S_{0}.
    Para isso vamos usar a fórmula de redução (resultado da Parte 1), que decorre de uma integração por partes em \int\sin^{n}x\,dx.

Passo 2

Da Parte 1 temos a primitiva
\int \sin^{n}x\,dx =-\frac{1}{n}\,\sin^{n-1}x\cos x +\frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\,dx.
Aplicando essa primitiva de 0 a \pi/2 obtemos
S_{n} =\Bigl[-\tfrac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x\Bigr]_{0}^{\pi/2} +\frac{n-1}{n}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\,dx.

Passo 3

Nos limites x=0 e x=\pi/2 o termo -\tfrac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x vale zero (em 0, \sin=0; em \pi/2, \cos=0). Logo
S_{n} =\frac{n-1}{n}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\,dx =\frac{n-1}{n}\,S_{n-2},
que é exatamente a fórmula de redução pedida.

Passo 4

Para n=0 temos
S_{0}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{0}x\,dx =\int_{0}^{\pi/2}1\,dx =\frac{\pi}{2}.

Resposta

Parte 2a: \displaystyle S_{n}=\frac{n-1}{n}\,S_{n-2}.
Parte 2b: \displaystyle S_{0}=\frac{\pi}{2}.

Exercícios relacionados