Parte 2) [25% dos pontos] Seja
um inteiro
. Se definimos
para
- Parte 2a: Prove, a partir da Parte 1, que
para
.
- Parte 2b: Calcule o valor da integral simples, para
Passo 1
O enunciado define, para todo inteiro
,
e pede:
- Provar a partir da Parte 1 que
- Calcular
.
Para isso vamos usar a fórmula de redução (resultado da Parte 1), que decorre de uma integração por partes em.
Passo 2
Da Parte 1 temos a primitiva
Aplicando essa primitiva de
a
obtemos
Passo 3
Nos limites
e
o termo
vale zero (em
,
; em
,
). Logo
que é exatamente a fórmula de redução pedida.
Passo 4
Para
temos
Resposta
Parte 2a:
Parte 2b:
Parte 2b: