Prove que:
\lim _{x \rightarrow 2}(2 x-1)=3

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\lim_{x\to 2}(2x-1)=3.
Informações dadas: a função considerada é f(x)=2x-1 e estamos analisando o comportamento de f(x) quando x se aproxima de 2. A afirmação a provar é que os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de 3 quando x fica suficientemente próximo de 2.

Passo 2

Vou usar a definição formal de limite (definição \varepsilon \delta). Essa definição diz: para provar que
\lim_{x\to 2}f(x)=L
é suficiente mostrar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta, então |f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando as letras:
  • \varepsilon>0 é quão perto eu quero que f(x) esteja de L.
  • \delta>0 é quão perto devo exigir que x esteja de 2 para garantir isso.
  • A condição 0<|x-2|<\delta significa “x diferente de 2, mas dentro da distância \delta de 2”.
  • A conclusão |f(x)-L|<\varepsilon significa "o valor da função está dentro da distância \varepsilon de L".
Aqui, f(x)=2x-1 e L=3. Portanto preciso mostrar: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-2|<\delta, então |(2x-1)-3|<\varepsilon.

Passo 3

Calculo a expressão |(2x-1)-3| para simplificar a condição desejada:
|(2x-1)-3| = |2x-4|.
Agora fatoro 2:
|2x-4| = |2||x-2| = 2|x-2|.
Isso significa que a distância entre f(x) e 3 é exatamente duas vezes a distância entre x e 2.

Passo 4

Queremos garantir |(2x-1)-3|<\varepsilon. Usando a igualdade anterior, isso equivale a
2|x-2| < \varepsilon.
Dividindo ambos os lados por 2 (positivo), obtemos
|x-2| < \frac{\varepsilon}{2}.
Portanto, se fizermos |x-2|<\varepsilon/2, automaticamente teremos |(2x-1)-3|<\varepsilon.

Passo 5

Agora formalizo a escolha de \delta e concluo o argumento. Seja arbitrário \varepsilon>0. Defina
\delta = \frac{\varepsilon}{2}.
Note que \delta>0. Se x satisfaz 0<|x-2|<\delta, então pelas contas do Passo 4,
|(2x-1)-3| = 2|x-2| < 2\delta = 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Isso prova, pela definição \varepsilon \delta, que
\lim_{x\to 2}(2x-1)=3.

Passo 6

Para fixar a intuição: se eu quero que f(x) esteja a menos de, por exemplo, \varepsilon=0{,}1 de 3, escolho \delta=0{,}05. Assim, qualquer x a uma distância menor que 0{,}05 de 2 garante que f(x) esteja a menos de 0{,}1 de 3. Isso vem do fator 2 na frente de |x-2|.

Resposta

\lim_{x\to 2}(2x-1)=3

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