Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar que
Informações dadas: a função considerada é
e estamos analisando o comportamento de
quando
se aproxima de
. A afirmação a provar é que os valores de
ficam arbitrariamente próximos de
quando
fica suficientemente próximo de
.
Passo 2
Vou usar a definição formal de limite (definição
–
). Essa definição diz: para provar que
é suficiente mostrar que, para todo
, existe
tal que, sempre que
, então
.
Explicando as letras:
-
é quão perto eu quero que esteja de . -
é quão perto devo exigir que esteja de para garantir isso. - A condição
significa “x diferente de 2, mas dentro da distância de 2”. - A conclusão
significa "o valor da função está dentro da distância de ".
Aqui,
e
. Portanto preciso mostrar: para todo
existe
tal que, se
, então
.
Passo 3
Calculo a expressão
para simplificar a condição desejada:
Agora fatoro
:
Isso significa que a distância entre
e
é exatamente duas vezes a distância entre
e
.
Passo 4
Queremos garantir
. Usando a igualdade anterior, isso equivale a
Dividindo ambos os lados por
(positivo), obtemos
Portanto, se fizermos
, automaticamente teremos
.
Passo 5
Agora formalizo a escolha de
e concluo o argumento. Seja arbitrário
. Defina
Note que
. Se
satisfaz
, então pelas contas do Passo 4,
Isso prova, pela definição
–
, que
Passo 6
Para fixar a intuição: se eu quero que
esteja a menos de, por exemplo,
de
, escolho
. Assim, qualquer
a uma distância menor que
de
garante que
esteja a menos de
de
. Isso vem do fator
na frente de
.