(5) Prove que
lim x 1(x^2-x) sin (1x)=0

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto 1l(x^2-xr),sinl(1/xr)
Este é um produto de duas funções: x^2-x, que tende a zero quando xto1, e sin(1/x), que sabemos ser limitada entre -1 e 1. Vamos aplicar o teorema do confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Como para todo xneq0 vale
-1 <= sinl(1/xr) <= 1,
multiplicando por x^2-x (que muda de sinal mas usaremos valor absoluto) obtemos
-l|x^2-xr|<= l(x^2-xr)sinl(1/xr)<= l|x^2-xr|
Em módulo,
|l(x^2-xr)sinl(1/xr)|<= l|x^2-xr|

Passo 3

Calculemos
limxto1l|x^2-xr| =limxto1l|x,(x-1)r| =limxto1|x|;cdot;limxto1|x-1| =1cdot 0 =0
Pelo teorema do confronto segue que
limxto1l(x^2-xr)sinl(1/xr)=0

Resposta

0

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