Verifique que as seguintes funções são densidades:
f(x)=4 x e^-2 x, x >= 0 f(x)=sen x, 0 <= x <= pi / 2

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as duas funções dadas são densidades de probabilidade contínuas. Isso significa checar duas coisas: que elas sejam não‐negativas no domínio e que sua integral total valha 1. Aqui vamos usar conceitos de integrais impróprias e trigonometria.

Passo 2

Primeiro garantimos que ambas as funções são não‐negativas no domínio indicado: f(x)=4x
e^{−2x} é ≥0 para x≥0 e sen
x é ≥0 em [0,π/2].

Passo 3

Agora calculamos a normalização de f(x)=4x
e^{−2x} em [0,∞):
integral0^infty4x e^-2x,dx =4integral0^inftyx e^-2x,dx
Usando o resultado integral0^inftyx e^-a x,dx=1/a^2 com a=2, temos
4cdot12^2=4cdot14=1

Passo 4

Em seguida normalizamos f(x)=\sin x em [0,π/2]:
integral0^pi/2sin x,dx=[-cos x]0^pi/2=(-cos(pi/2)) -(-cos0)=0-(-1)=1

Passo 5

Como ambas as funções são não‐negativas e suas integrais totais valem 1, concluímos que são de fato densidades de probabilidade.

Resposta

As duas funções satisfazem f(x)\u22650 no domínio e têm integral total igual a 1, logo são densidades de probabilidade contínuas.

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