Verifique que as seguintes funções são densidades:
Passo 1
O enunciado pede para verificar que as duas funções dadas são densidades de probabilidade contínuas. Isso significa checar duas coisas: que elas sejam não‐negativas no domínio e que sua integral total valha 1. Aqui vamos usar conceitos de integrais impróprias e trigonometria.
Passo 2
Primeiro garantimos que ambas as funções são não‐negativas no domínio indicado: f(x)=4x
e^{−2x} é ≥0 para x≥0 e sen
x é ≥0 em [0,π/2].
e^{−2x} é ≥0 para x≥0 e sen
x é ≥0 em [0,π/2].
Passo 3
Agora calculamos a normalização de f(x)=4x
e^{−2x} em [0,∞):
e^{−2x} em [0,∞):
Usando o resultado
com
, temos
Passo 4
Em seguida normalizamos f(x)=\sin x em [0,π/2]:
Passo 5
Como ambas as funções são não‐negativas e suas integrais totais valem 1, concluímos que são de fato densidades de probabilidade.
Resposta
As duas funções satisfazem f(x)\u22650 no domínio e têm integral total igual a 1, logo são densidades de probabilidade contínuas.