Verifique que as seguintes funções são densidades:
f(x)=cc2 / 3 & se -1 <= x <= 0 -2(x-1) / 3 & se 0 <= x <= 1 0 & caso contrário á

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=
tfrac23, & -1<= x<=0 -tfrac2(x-1)3, & 0<= x<=1 0, & caso contrário á
é uma densidade de probabilidade. Na teoria, uma função é pdf se satisfaz duas condições: (i) f(x)>=0 para todo x e (ii) integral-infty^inftyf(x),dx=1.

Passo 2

Analisando a não negatividade de f(x):
  • Para -1<= x<=0 temos f(x)=2/3, que é não negativa.
  • Para 0<= x<=1 temos f(x)=-tfrac2(x-1)3=tfrac2(1-x)3, e como 1-x>=0 nesse intervalo, também é não negativa.
  • Fora de [-1,1], f(x)=0.

Passo 3

Calcular a área sob f de -1 a 0:
integral-1^023,dx =23,(0-(-1)) =23

Passo 4

Calcular a área sob f de 0 a 1:
integral0^1gl(-2(x-1)3gr),dx =-23integral0^1(x-1),dx =-23l[x^22-xr]0^1 =-23l(tfrac12-1r) =13

Passo 5

Somando as duas contribuições temos
integral-infty^inftyf(x),dx =integral-1^0f(x),dx+integral0^1f(x),dx =23+13=1
Portanto, além de não negativa, a integral total é 1, satisfazendo as duas condições de densidade.

Resposta

Sim. A função f(x) satisfaz f(x)>=0 e integral-infty^inftyf(x),dx=1, logo é densidade de probabilidade.

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