Prove que o limite existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^{2}+y^{2}\right)=0

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite para funções de duas variáveis, que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^2 + y^2\bigr) = 0.
O conteúdo é a prova ε–δ de limite em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Recordando a definição: dizemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} < \delta,
então
\bigl|f(x,y) - L\bigr| < \varepsilon.

Passo 3

No nosso caso f(x,y)=x^2+y^2 e queremos L=0. Observe que
\bigl|x^2+y^2 - 0\bigr| = x^2 + y^2.
Para forçar x^2+y^2<\varepsilon, basta escolher \delta = \sqrt{\varepsilon}.

Passo 4

Suponha então que \varepsilon>0 e tome \delta=\sqrt{\varepsilon}. Se \sqrt{x^2+y^2}<\delta, então
x^2 + y^2 < \delta^2 = \varepsilon,
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\bigl|x^2 + y^2 - 0\bigr| < \varepsilon.
Isso satisfaz a definição de limite.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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