Avalie a continuidade de funções
g(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\\\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{cases}

Passo 1

O enunciado define
g(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para avaliar a continuidade. O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis. Vamos verificar primeiro pontos fora da origem e depois o ponto (0,0).]

Passo 2

Se (x,y)\neq(0,0), então x^{2}+y^{2}\neq0 e g é quociente de polinômios com denominador não nulo, logo é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Para ver se g é contínua em (0,0), precisamos checar
\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)
e comparar com g(0,0)=0. Aproxime pela reta y=mx. Então
g(x,mx) =\frac{x\,(mx)}{x^{2}+(mx)^{2}} =\frac{m\,x^{2}}{x^{2}(1+m^{2})} =\frac{m}{1+m^{2}}.
Ao fazer x\to0, esse valor tende a \tfrac{m}{1+m^{2}}, que depende de m. Portanto o limite não é único e não existe.

Resposta

g é contínua em todos os pontos (x,y)\neq(0,0) e é descontínua em (0,0).

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