Prove os limites de duas maneiras, empregando o Teorema do Confronto ou o Corolário 2.30. .
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite . O tema é limites, e vamos usar duas ferramentas: o Teorema do Confronto (ou Série de Squeeze) e o Corolário 2.30 (produto de função que vai a zero por função limitada).
Passo 2
Antes de aplicar o Teorema do Confronto, lembramos que sempre vale . Como a exponencial é crescente, temos
Passo 3
Agora montamos o aperto. Note que
Passo 4
Como |raiz[3]x|,e = e,|x|^1/3 e limxto0e,|x|^1/3 = 0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
limxto0raiz[3]x,e^sin(1/x) = 0
Passo 5
Em seguida, usamos o Corolário 2.30, que diz: se f(x)to0 e g(x) é limitada, então f(x)g(x)to0. Aqui escolhemos f(x)=raiz[3]xto0 e g(x)=e^sin(1/x), que está presa entre e^-1 e e. Logo
limxto0raiz[3]x,e^sin(1/x) = 0
por esse corolário também.