Prove os limites de duas maneiras, empregando o Teorema do Confronto ou o Corolário 2.30.
lim x 0 raiz[3]x e^sen(1 / x)=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0 raiz[3]x,e^sin(1/x) = 0. O tema é limites, e vamos usar duas ferramentas: o Teorema do Confronto (ou Série de Squeeze) e o Corolário 2.30 (produto de função que vai a zero por função limitada).

Passo 2

Antes de aplicar o Teorema do Confronto, lembramos que sempre vale -1<=sin(1/x)<=1. Como a exponencial é crescente, temos
e^-1<= e^sin(1/x)<= e^1 = e

Passo 3

Agora montamos o aperto. Note que
l|raiz[3]x,e^sin(1/x)r| = |raiz[3]x|,e^sin(1/x) <= |raiz[3]x|,e

Passo 4

Como |raiz[3]x|,e = e,|x|^1/3 e limxto0e,|x|^1/3 = 0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
limxto0raiz[3]x,e^sin(1/x) = 0

Passo 5

Em seguida, usamos o Corolário 2.30, que diz: se f(x)to0 e g(x) é limitada, então f(x)g(x)to0. Aqui escolhemos
f(x)=raiz[3]xto0 e g(x)=e^sin(1/x), que está presa entre e^-1 e e. Logo
limxto0raiz[3]x,e^sin(1/x) = 0
por esse corolário também.

Resposta

0

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