Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
integral0^2 pi d theta(a+b cos theta)^2, com a>b>0.
Resposta: 2 pi a(a^2-b^2)^3 / 2 ^111

Passo 1

Vamos calcular a integral trigonométrica integral0^2 pi d theta(a+b cos theta)^2, onde a > b > 0. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e identidades trigonométricas. Precisaremos entender como integrar funções que envolvem cossenos ao quadrado no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integrar uma função com cos theta no denominador pode ser complicado, mas existe uma fórmula padrão para integrais desse tipo. A fórmula geral para integral0^2pi dtheta(a + b cos theta)^n pode ser usada aqui.

Passo 3

Para o caso específico onde n = 2, a fórmula é:
integral0^2 pi d theta(a+b cos theta)^2 = 2 pi a(a^2-b^2)^3/2
Essa fórmula nos dá diretamente o valor da integral sem precisar resolver passo a passo.

Passo 4

Vamos verificar se as condições da fórmula são atendidas. Sabemos que a > b > 0, então a^2 - b^2 é positivo e a raiz quadrada existe. Portanto, podemos aplicar a fórmula com segurança.

Resposta

2 pi a(a^2-b^2)^3 / 2

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