Determine os limites das seguintes sequiências:
(16) lim n infty(1+1n^2)^n

Passo 1

Temos a sequência an=l(1+1n^2r)^n e queremos calcular limntoinftyan. O conteúdo é limites de sequências envolvendo potências e vamos precisar usar a função logaritmo para linearizar a exponenciação.

Passo 2

Para encontrar o limite, definimos L=limntoinftyan e calculamos o logaritmo: ln an = nlnl(1+1n^2r) Como ntoinfty, o termo 1n^2to0, então usamos a expansão ln(1+x)=x-x^22+o(x^2). Assim,

Passo 3

ln an = nl(1n^2-12n^4+ol(tfrac1n^4r)r)=1n-12n^3+ol(tfrac1n^3r)to0

Passo 4

Logo ln anto0, o que implica an=exp(ln an)to e^0=1.

Resposta

1

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