Prove que ln (1+x)=sumn=1^+infty(-1)^n-1 cdot x^nn!, se |x|<1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que ln(1+x) é igual à soma infinita sumn=1^+infty(-1)^n-1 cdot x^nn! quando |x| < 1. O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries de potências e propriedades dos logaritmos naturais. Precisaremos entender como expandir funções em séries e manipular termos dessa série para chegar na prova.

Passo 2

Primeiro, é importante notar que a expansão correta da função ln(1+x) em série de potências para |x| < 1 é na verdade:
ln(1+x) = sumn=1^+infty (-1)^n-1 cdot x^nn
Note que o denominador é n, não n!. Parece que houve um pequeno erro na formulação original da questão. Com isso esclarecido, vamos proceder para provar essa série correta.

Passo 3

Para provar essa expansão, vamos começar lembrando que, para |x| < 1, podemos expandir a função 11+x como uma série geométrica:
11+x = sumn=0^+infty (-1)^n x^n
Isso porque a série geométrica é dada por sumn=0^+infty ar^n = a1 - r quando |r| < 1. Aqui, a = 1 e r = -x.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação para encontrar a expansão de ln(1+x). Sabemos que:
ln(1+x) = integral0^x 11+t dt
Substituindo a série que encontramos para 11+t:
ln(1+x) = integral0^x sumn=0^+infty (-1)^n t^n dt

Passo 5

A integração pode ser feita termo a termo dentro do intervalo de convergência. Assim:
ln(1+x) = sumn=0^+infty (-1)^n integral0^x t^n dt
Integrando t^n, obtemos:
ln(1+x) = sumn=0^+infty (-1)^n cdot x^n+1n+1

Passo 6

Vamos ajustar o índice da soma para que comece em n=1. Fazendo isso, substituímos n por n-1 na soma:
ln(1+x) = sumn=1^+infty (-1)^n-1 cdot x^nn
E assim, chegamos à expressão desejada.

Resposta

Portanto, comprovamos que para |x| < 1, a expansão em série de ln(1+x) é:
ln(1+x) = sumn=1^+infty (-1)^n-1 cdot x^nn

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