Prove que
, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que
é igual à soma infinita
quando
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries de potências e propriedades dos logaritmos naturais. Precisaremos entender como expandir funções em séries e manipular termos dessa série para chegar na prova.
Passo 2
Primeiro, é importante notar que a expansão correta da função
em série de potências para
é na verdade:
Note que o denominador é
, não
. Parece que houve um pequeno erro na formulação original da questão. Com isso esclarecido, vamos proceder para provar essa série correta.
Passo 3
Para provar essa expansão, vamos começar lembrando que, para
, podemos expandir a função
como uma série geométrica:
Isso porque a série geométrica é dada por
quando
. Aqui,
e
.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação para encontrar a expansão de
. Sabemos que:
Substituindo a série que encontramos para
:
Passo 5
A integração pode ser feita termo a termo dentro do intervalo de convergência. Assim:
Integrando
, obtemos:
Passo 6
Vamos ajustar o índice da soma para que comece em
. Fazendo isso, substituímos
por
na soma:
E assim, chegamos à expressão desejada.
Resposta
Portanto, comprovamos que para
, a expansão em série de
é: