Seja
a curva parametrizada
. 0 comprimento de
é:
Escolha uma opção:
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Passo 1
Beleza, então a gente tem uma curva parametrizada $ C(t) = \left(\frac{t^{2}}{2}, \frac{t^{3}}{3}\right) $ para $ t $ entre 0 e 1. O objetivo aqui é calcular o comprimento dessa curva, ou seja, o “tamanho” dela de $ t = 0 $ até $ t = 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se $ C(t) = (x(t), y(t)) $, então o comprimento $ L $ da curva de $ t = a $ até $ t = b $ é dado por:
Essa fórmula basicamente soma, de forma contínua, todas as pequenas distâncias ao longo da curva para encontrar o comprimento total.
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções $ x(t) $ e $ y(t) $ na nossa curva:
Precisamos encontrar as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $, que são $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição $ u = 1 + t^{2} $. Então, $ du = 2t , dt $ ou $ \frac{du}{2} = t , dt $.
Quando $ t = 0 $, $ u = 1 $.
Quando $ t = 1 $, $ u = 2 $.
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral:
Calculando para $ u = 2 $ e $ u = 1 $:
Resposta
O comprimento de $ C $ é $ \frac{2 \sqrt{2} - 1}{3} $.