Seja C a curva parametrizada C(t)=(t^22, t^33) ; t in[0,1]. 0 comprimento de C é:
Escolha uma opção:
12
3 raiz2-12
2 raiz23
2 raiz2-13
13

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma curva parametrizada $ C(t) = \left(\frac{t^{2}}{2}, \frac{t^{3}}{3}\right) $ para $ t $ entre 0 e 1. O objetivo aqui é calcular o comprimento dessa curva, ou seja, o “tamanho” dela de $ t = 0 $ até $ t = 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se $ C(t) = (x(t), y(t)) $, então o comprimento $ L $ da curva de $ t = a $ até $ t = b $ é dado por:
C(t) = (x(t), y(t))
Essa fórmula basicamente soma, de forma contínua, todas as pequenas distâncias ao longo da curva para encontrar o comprimento total.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções $ x(t) $ e $ y(t) $ na nossa curva:
x(t)
Precisamos encontrar as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $, que são $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $.

Passo 4

Calculando as derivadas:
dxdt = ddt(t^22) = t
dydt = ddt(t^33) = t^2

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
L = integral0^1 raiz(t)^2 + (t^2)^2 , dt = integral0^1 raizt^2 + t^4 , dt

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raizt^2 + t^4 = raizt^2(1 + t^2) = t raiz1 + t^2
Então, a integral fica:
L = integral0^1 t raiz1 + t^2 , dt

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição $ u = 1 + t^{2} $. Então, $ du = 2t , dt $ ou $ \frac{du}{2} = t , dt $.
Quando $ t = 0 $, $ u = 1 $.
Quando $ t = 1 $, $ u = 2 $.
Substituindo na integral:
u = 1 + t^2

Passo 8

Agora, resolvemos a integral:
12 integral1^2 u^1/2 , du = 12 [ 23 u^3/2 ]1^2 = 13 ( u^3/2 )1^2
Calculando para $ u = 2 $ e $ u = 1 $:
u = 2

Resposta

O comprimento de $ C $ é $ \frac{2 \sqrt{2} - 1}{3} $.

Exercícios relacionados