Prove que:
\operatorname{Proj}_{\mathrm{u}}\left(\operatorname{Proj}_{\mathrm{u}} \mathrm{v}\right)=\operatorname{Proj}_{\mathrm{u}} \mathrm{v}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que projetar um vetor já projetado não muda nada, ou seja, que o operador de projeção sobre uma direção é idempotente. Vamos usar a definição de projeção de \mathrm{v} sobre \mathrm{u} em termos do produto interno.

Passo 2

Lembrando a fórmula da projeção de \mathrm{v} sobre \mathrm{u}:
\operatorname{Proj}_{\mathrm{u}}\mathrm{v} = \frac{\langle \mathrm{u},\mathrm{v}\rangle}{\langle \mathrm{u},\mathrm{u}\rangle}\,\mathrm{u}.
Aqui \langle \cdot,\cdot\rangle é o produto interno e assumimos \mathrm{u}\neq\mathbf{0}.

Passo 3

Defina
\mathrm{p} = \operatorname{Proj}_{\mathrm{u}}\mathrm{v} \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{p} = \alpha\,\mathrm{u},
onde \displaystyle \alpha = \frac{\langle \mathrm{u},\mathrm{v}\rangle}{\langle \mathrm{u},\mathrm{u}\rangle}.
Para projetar \mathrm{p} sobre \mathrm{u}, calculamos
\operatorname{Proj}_{\mathrm{u}}\mathrm{p} = \frac{\langle \mathrm{u},\mathrm{p}\rangle}{\langle \mathrm{u},\mathrm{u}\rangle}\,\mathrm{u} = \frac{\langle \mathrm{u},\,\alpha\,\mathrm{u}\rangle}{\langle \mathrm{u},\mathrm{u}\rangle}\,\mathrm{u}.
Como o produto interno é bilinear,
\langle \mathrm{u},\,\alpha\,\mathrm{u}\rangle = \alpha\,\langle \mathrm{u},\mathrm{u}\rangle.

Passo 4

Substituindo em \operatorname{Proj}_{\mathrm{u}}\mathrm{p} temos
\operatorname{Proj}_{\mathrm{u}}\mathrm{p} = \frac{\alpha\,\langle \mathrm{u},\mathrm{u}\rangle}{\langle \mathrm{u},\mathrm{u}\rangle}\,\mathrm{u} = \alpha\,\mathrm{u} = \mathrm{p}.
Ou seja,
\operatorname{Proj}_{\mathrm{u}}\bigl(\operatorname{Proj}_{\mathrm{u}}\mathrm{v}\bigr) = \operatorname{Proj}_{\mathrm{u}}\mathrm{v}.

Resposta

\operatorname{Proj}_{\mathrm{u}}\bigl(\operatorname{Proj}_{\mathrm{u}}\mathrm{v}\bigr)=\operatorname{Proj}_{\mathrm{u}}\mathrm{v}.

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