(a) Prove: Se A e B são matrizes m \times n, então A e B são equivalentes por linhas se, e somente se, A e B têm a mesma forma escalonada reduzida por linhas.
(b) Mostre que A e B são equivalentes por linhas e encontre uma seqüência de operações elementares por linhas que produz B a partir de A, sendo
O enunciado pede duas coisas. (a) Mostrar que duas matrizes A,B\in M_{m\times n}(K) são equivalentes por linhas se, e somente se, têm a mesma forma escalonada reduzida por linhas (RREF). Aqui vamos usar o fato de que toda matriz é linha-equivalente a uma única RREF e que operações elementares preservam essa forma. (b) No caso concreto
mostrar que A\sim B e dar uma sequência de operações de linha que leva A em B.
Passo 2
Prova de (a).
“\Rightarrow”: Se A\sim B, existe uma sequência de operações elementares E tal que B=E(A). Como cada operação elementar envia qualquer matriz à mesma RREF única, temos
“\Leftarrow”: Se \mathrm{RREF}(A)=\mathrm{RREF}(B)=R, então há operações E_1 com E_1(A)=R e E_2 com E_2(B)=R. Como operações elementares são invertíveis, podemos compor