(a) Prove: Se A e B são matrizes m \times n, então A e B são equivalentes por linhas se, e somente se, A e B têm a mesma forma escalonada reduzida por linhas.
(b) Mostre que A e B são equivalentes por linhas e encontre uma seqüência de operações elementares por linhas que produz B a partir de A, sendo
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 9 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 4 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas.
(a) Mostrar que duas matrizes A,B\in M_{m\times n}(K) são equivalentes por linhas se, e somente se, têm a mesma forma escalonada reduzida por linhas (RREF). Aqui vamos usar o fato de que toda matriz é linha-equivalente a uma única RREF e que operações elementares preservam essa forma.
(b) No caso concreto
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 4 & 1\\\\ 2 & 1 & 9 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5\\\\ 0 & 2 & -2\\\\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix},
mostrar que A\sim B e dar uma sequência de operações de linha que leva A em B.

Passo 2

Prova de (a).
  1. \Rightarrow”: Se A\sim B, existe uma sequência de operações elementares E tal que B=E(A). Como cada operação elementar envia qualquer matriz à mesma RREF única, temos
\mathrm{RREF}(B) =\mathrm{RREF}\bigl(E(A)\bigr) =\mathrm{RREF}(A).
  1. \Leftarrow”: Se \mathrm{RREF}(A)=\mathrm{RREF}(B)=R, então há operações E_1 com E_1(A)=R e E_2 com E_2(B)=R. Como operações elementares são invertíveis, podemos compor
A \xrightarrow{E_1}R \xrightarrow{E_2^{-1}} B,
logo A\sim B.

Passo 3

Calcular \mathrm{RREF}(A). Partindo de
A=\begin{pmatrix}1&2&3\\\ 1&4&1\\\ 2&1&9\end{pmatrix},
aplicamos:
\begin{aligned} &R_2\leftarrow R_2-R_1\quad\Rightarrow\;\begin{pmatrix}1&2&3\\\ 0&2&-2\\\ 2&1&9\end{pmatrix},\\\ &R_3\leftarrow R_3-2R_1\quad\Rightarrow\;\begin{pmatrix}1&2&3\\\ 0&2&-2\\\ 0&-3&3\end{pmatrix},\\\ &R_2\leftarrow \tfrac12\,R_2\quad\Rightarrow\;\begin{pmatrix}1&2&3\\\ 0&1&-1\\\ 0&-3&3\end{pmatrix},\\\ &R_3\leftarrow R_3+3R_2\quad\Rightarrow\;\begin{pmatrix}1&2&3\\\ 0&1&-1\\\ 0&0&0\end{pmatrix},\\\ &R_1\leftarrow R_1-2R_2\quad\Rightarrow\;\begin{pmatrix}1&0&5\\\ 0&1&-1\\\ 0&0&0\end{pmatrix}. \end{aligned}
Logo
\mathrm{RREF}(A) =\begin{pmatrix}1&0&5\\\ 0&1&-1\\\ 0&0&0\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular \mathrm{RREF}(B). Partindo de
B=\begin{pmatrix}1&0&5\\\ 0&2&-2\\\ 1&1&4\end{pmatrix},
aplicamos:
\begin{aligned} &R_3\leftarrow R_3-R_1\quad\Rightarrow\;\begin{pmatrix}1&0&5\\\ 0&2&-2\\\ 0&1&-1\end{pmatrix},\\\ &R_2\leftarrow \tfrac12\,R_2\quad\Rightarrow\;\begin{pmatrix}1&0&5\\\ 0&1&-1\\\ 0&1&-1\end{pmatrix},\\\ &R_3\leftarrow R_3-R_2\quad\Rightarrow\;\begin{pmatrix}1&0&5\\\ 0&1&-1\\\ 0&0&0\end{pmatrix}. \end{aligned}
Logo
\mathrm{RREF}(B) =\begin{pmatrix}1&0&5\\\ 0&1&-1\\\ 0&0&0\end{pmatrix} =\mathrm{RREF}(A).
Concluímos A\sim B.

Passo 5

Uma sequência de operações elementares que leva A em B é obtida concatenando as etapas de A\to\mathrm{RREF} com as de \mathrm{RREF}\to B. Por exemplo:
  1. R_2\leftarrow R_2-R_1
  2. R_3\leftarrow R_3-2\,R_1
  3. R_2\leftarrow \tfrac12\,R_2
  4. R_3\leftarrow R_3+3\,R_2
  5. R_1\leftarrow R_1-2\,R_2
    (agora estamos em RREF)
  6. R_3\leftarrow R_1+R_2
  7. R_2\leftarrow 2\,R_2
Após essas sete operações chega-se exatamente em \begin{pmatrix}1&0&5\\\ 0&2&-2\\\ 1&1&4\end{pmatrix}=B.

Resposta

(a) Duas matrizes são equivalentes por linhas se, e somente se, têm a mesma RREF.
(b) A sequência de operações que leva
\begin{pmatrix}1&2&3\\\ 1&4&1\\\ 2&1&9\end{pmatrix} \quad\text{em}\quad \begin{pmatrix}1&0&5\\\ 0&2&-2\\\ 1&1&4\end{pmatrix}
é dada pelos passos 1 a 7 descritos acima.

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