Prove que se A é uma matriz simétrica invertível então A^{-1} é simétrica.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pede-se provar que, se A é uma matriz simétrica invertível, então A^{-1} também é simétrica.
  • Informação dada:
    • A é simétrica, isto é, A^T = A.
    • A é invertível, isto é, existe uma matriz A^{-1} tal que A A^{-1} = A^{-1} A = I,onde I é a matriz identidade apropriada.
O objetivo concreto a provar é mostrar que
(A^{-1})^T = A^{-1}.

Passo 2

Lembrete das propriedades que vamos usar (com explicação curta e clara).
  • Definição de transposta: para uma matriz M, a transposta M^T é a matriz com entradas (M^T)_{ij} = M_{ji}. Em palavras: linhas viram colunas.
  • Propriedade do produto: para quaisquer matrizes compatíveis B e C, (BC)^T = C^T B^T.Explicação elementar: (BC)_{ij}=\sum_k B_{ik}C_{kj}. Ao trocar índices para transpor, obtemos (BC)^T_{ij}=(BC)_{ji}=\sum_k B_{jk}C_{ki}=\sum_k C^T_{ik}B^T_{kj}=(C^T B^T)_{ij}.
  • Transposta da identidade: I^T = I porque a matriz identidade já é igual à sua transposta.
  • Unicidade do inverso: se B e C são inversos de A (ou seja, BA=I e AC=I), então B=C. Prova curta da unicidade: B = B I = B(AC) = (BA)C = I C = C.
Essas são todas as ferramentas necessárias.

Passo 3

Aplicar transposta à identidade que define o inverso.
Começamos da igualdade que define o inverso:
A A^{-1} = I.
Agora aplicamos a operação transposta em ambos os lados. Usando (BC)^T = C^T B^T e I^T = I, obtemos
(A A^{-1})^T = I^T \quad\Rightarrow\quad (A^{-1})^T A^T = I.

Passo 4

Usar que A é simétrica.
Como A é simétrica temos A^T = A. Substituindo na igualdade do passo anterior:
(A^{-1})^T A = I.
Isto mostra que (A^{-1})^T é uma matriz à esquerda-inversa de A.

Passo 5

Concluir usando unicidade do inverso.
Sabemos que A^{-1} é a (única) inversa de A, ou seja, a única matriz que satisfaz X A = I e A X = I. Do passo anterior temos (A^{-1})^T A = I, portanto (A^{-1})^T é uma inversa à esquerda de A. Pela unicidade do inverso segue que
(A^{-1})^T = A^{-1}.
Isso é exatamente a definição de simetria para A^{-1}.

Passo 6

Observação alternativa (curtinha) — mapa rápido para a prova em prova escrita.
Uma forma equivalente e rápida é usar a propriedade geral
(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}.
Se A é simétrica ( A^T=A), então (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = A^{-1}, concluindo também que A^{-1} é simétrica. A demonstração dessa propriedade segue do mesmo tipo de razãoamento: transpor A A^{-1}=I e rearranjar.

Resposta

\,A^{-1}\\ \text{é simétrica, ou seja,}\\ (A^{-1})^T = A^{-1}.éé

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