Prove que se
é uma matriz simétrica invertível então
é simétrica.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- Pede-se provar que, se
é uma matriz simétrica invertível, então também é simétrica. - Informação dada:
-
é simétrica, isto é, . -
é invertível, isto é, existe uma matriz tal que onde é a matriz identidade apropriada.
-
O objetivo concreto a provar é mostrar que
Passo 2
Lembrete das propriedades que vamos usar (com explicação curta e clara).
- Definição de transposta: para uma matriz
, a transposta é a matriz com entradas . Em palavras: linhas viram colunas. - Propriedade do produto: para quaisquer matrizes compatíveis
e , Explicação elementar: . Ao trocar índices para transpor, obtemos . - Transposta da identidade:
porque a matriz identidade já é igual à sua transposta. - Unicidade do inverso: se
e são inversos de (ou seja, e ), então . Prova curta da unicidade: .
Essas são todas as ferramentas necessárias.
Passo 3
Aplicar transposta à identidade que define o inverso.
Começamos da igualdade que define o inverso:
Agora aplicamos a operação transposta em ambos os lados. Usando
e
, obtemos
Passo 4
Usar que
é simétrica.
Como
é simétrica temos
. Substituindo na igualdade do passo anterior:
Isto mostra que
é uma matriz à esquerda-inversa de
.
Passo 5
Concluir usando unicidade do inverso.
Sabemos que
é a (única) inversa de
, ou seja, a única matriz que satisfaz
e
. Do passo anterior temos
, portanto
é uma inversa à esquerda de
. Pela unicidade do inverso segue que
Isso é exatamente a definição de simetria para
.
Passo 6
Observação alternativa (curtinha) — mapa rápido para a prova em prova escrita.
Uma forma equivalente e rápida é usar a propriedade geral
Se
é simétrica (
), então
, concluindo também que
é simétrica. A demonstração dessa propriedade segue do mesmo tipo de razãoamento: transpor
e rearranjar.