Encontre o centróide de cada superfície S dada abaixo. Como no exercício precedente, admita que a densidade superficial de massa é rho equiv 1.
(a) S é o hemisfério z=raizR^2-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o centróide de uma superfície , que é o hemisfério\r
\r
com densidade superficial uniforme . O conteúdo envolve cálculo de área de superfície e momentos para encontrar as coordenadas do centróide.

Passo 2

Por simetria em torno do eixo z, as coordenadas horizontais do centróide são\r
bar x=0 e bar y=0.

Passo 3

Parametrizamos S em coordenadas esféricas:\r
x = Rsinphicostheta, y = Rsinphisintheta, z = Rcosphi, 0<=phi<=pi2,;0<=theta<=2pi \r
O elemento de área é \r
dS = R^2sinphi,dphi,dtheta \r
Logo a área total é\r
A = integral0^2pi!integral0^pi/2R^2sinphi,dphi,dtheta =2pi R^2

Passo 4

Agora calculamos o momento em z:\r
Mz = integralS z,dS = integral0^2pi!integral0^pi/2(Rcosphi),(R^2sinphi),dphi,dtheta =2pi R^3integral0^pi/2cosphisinphi,dphi \r
Como \r
integral0^pi/2cosphisinphi,dphi =tfrac12, \r
vem\r
Mz = 2pi R^3cdottfrac12 = pi R^3

Passo 5

A coordenada bar z do centróide é\r
bar z = MzA = pi R^32pi R^2 = R2

Resposta

l(0,0,tfracR2r)

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