Questão 2(2,0) : Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
F(x, y, z)=(e^x^2-y x^2+y, sec (y^7+1)-x^3)
através do triângulo de vértices A=(-3,3), B=(6,3), C=(0,0), orientado no sentido horário.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial bidimensional
vec F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r)
com
P(x,y) = e^x^2 - y,x^2 + y, Q(x,y) = secl(y^7+1r) - x^3,
e pede o trabalho
ointC vec Fcdot dvec r
ao longo do triângulo ABC orientado no sentido horário.
Para campos em R^2, vamos usar o Teorema de Green.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, se C fosse orientado no sentido anti-horário, teríamos
ointCP,dx + Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
Como C está orientado no sentido horário, o sinal inverte:
ointCP,dx + Q,dy = -integral duplaDl(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial xl[sec(y^7+1) - x^3r] = -3x^2,
partial Ppartial y = partialpartial yl[e^x^2 - y,x^2 + yr] = -x^2 + 1
Logo
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -3x^2 - l(-x^2 +1r) = -2x^2 -1
Portanto
ointC vec Fcdot dvec r = -integral duplaDl(-2x^2 -1r),dA = integral duplaD l(2x^2 +1r),dA

Passo 4

O domínio D é o triângulo de vértices
(-3,3),,(6,3) e (0,0).
Para 0<= y<=3, a aresta de baixo gera
x de -y (linha de (0,0) a (-3,3))
até 2y (linha de (0,0) a (6,3)).
Então
integral duplaD(2x^2+1),dA = integraly=0^3!integralx=-y^2y (2x^2+1),dx,dy

Passo 5

Calcule a integral interna em x:
integral-y^2y(2x^2+1),dx = l[tfrac23x^3 + xr]x=-y^2y = l(tfrac163y^3 +2yr) - l(-tfrac23y^3 - yr) = 6y^3 +3y

Passo 6

Agora integramos em y:
integral0^3l(6y^3+3yr),dy = l[tfrac64y^4 + tfrac32y^2r]0^3 = l[tfrac32y^4 + tfrac32y^2r]0^3 = 32(81+9) = 32cdot 90 = 135

Resposta

O trabalho realizado é 135.

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