Questão
: Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
através do triângulo de vértices
, orientado no sentido horário.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial bidimensional
com
e pede o trabalho
ao longo do triângulo orientado no sentido horário.
Para campos em , vamos usar o Teorema de Green.
ao longo do triângulo
Para campos em
Passo 2
Pelo Teorema de Green, se
fosse orientado no sentido anti-horário, teríamos
Como
está orientado no sentido horário, o sinal inverte:
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Logo
Portanto
Passo 4
O domínio
é o triângulo de vértices
e
.
Para , a aresta de baixo gera
de
(linha de
a
)
até (linha de
a
).
Então
Para
até
Então
Passo 5
Calcule a integral interna em
:
Passo 6
Agora integramos em
:
Resposta
O trabalho realizado é
.