Seja f(x)=x^3-8 x+10. Mostre que há, pelo menos um valor de c para o qual f(c) é igual a: (DICA: utilizar o Teorema do Valor Intermediário).
raiz3.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=x^3-8x+10
e pede para mostrar que existe pelo menos um ponto c tal que
f(c)=raiz3
O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Intermediário, que afirma que se uma função é contínua num intervalo e assume valores abaixo e acima de um certo L, então em algum ponto desse intervalo atinge exatamente L.

Passo 2

Primeiro observamos que f é um polinômio, e todo polinômio é contínuo em R. Logo podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário em qualquer intervalo de R.

Passo 3

Escolhemos dois pontos, por exemplo x=-4 e x=-3, e calculamos:
f(-4)=(-4)^3-8(-4)+10=-64+32+10=-22,
f(-3)=(-3)^3-8(-3)+10=-27+24+10=7
Como raiz3approx1,732, temos
f(-4)=-22<raiz3<7=f(-3)

Passo 4

Pela continuidade de f em [-4,-3] e pelo fato de f(-4)<raiz3<f(-3), o Teorema do Valor Intermediário garante que existe cin(-4,-3) tal que
f(c)=raiz3

Resposta

Existe pelo menos um cin(-4,-3) tal que f(c)=raiz3.

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