Prove ou mostre um contraexemplo: Todo grupo abeliano de ordem divisível por 3 contém um subgrupo de ordem 3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo grupo abeliano finito G cujo número de elementos lvert Grvert é divisível por 3 contém um subgrupo de ordem 3. Vamos usar o Teorema de Cauchy para grupos finitos.

Passo 2

O Teorema de Cauchy afirma que, se um primo p divide lvert Grvert, então existe um elemento xin G cuja ordem é exatamente p. Aqui tomamos p=3. Como 3midlvert Grvert, existe
xin G
tal que
ord(x)=3

Passo 3

O subgrupo gerado por x, denotado lang<= xrang<=, tem ordem igual à ordem de x. Logo
lvertlang<= xrang<=rvert =ord(x) =3

Resposta

O subgrupo lang<= xrang<= é um subgrupo de G de ordem 3.

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