Prove ou mostre um contraexemplo: Todo grupo abeliano de ordem divisível por 3 contém um subgrupo de ordem 3.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo grupo abeliano finito
cujo número de elementos
é divisível por 3 contém um subgrupo de ordem 3. Vamos usar o Teorema de Cauchy para grupos finitos.
Passo 2
O Teorema de Cauchy afirma que, se um primo
divide
, então existe um elemento
cuja ordem é exatamente
. Aqui tomamos
. Como
, existe
tal que
Passo 3
O subgrupo gerado por
, denotado
, tem ordem igual à ordem de
. Logo
Resposta
O subgrupo
é um subgrupo de
de ordem
.