Prove que se n é composto então 2^n-1 também é composto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sempre que n é um número composto, o número 2^n-1 também é composto. O que precisamos usar é a definição de número composto (um inteiro maior que 1 que tem um divisor próprio) e propriedades de potências de base 2.

Passo 2

Como n é composto, existem inteiros a e b, ambos maiores do que 1, tais que
n = a , b

Passo 3

Reescrevemos 2^n-1 usando essa fatoração de n:
2^n-1 = 2^ab - 1 = 2^a(b-1) + (a-1)
Agora usamos a propriedade ,2^x+y = 2^x cdot 2^y, com x = a(b-1) e y = a-1. Aplicando a propriedade, obtemos
2^n-1 = 2^a(b-1) cdot 2^a-1 = l(2^ar)^,b-1 cdot 2^a-1
Observe que tanto l(2^ar)^,b-1 quanto 2^a-1 são maiores do que 1, pois a>1 e b>1.

Passo 4

Como escrevemos 2^n-1 como produto de dois inteiros estritamente maiores que 1, concluímos que 2^n-1 é composto.

Resposta

Como 2^n-1 = l(2^ar)^b-1cdot2^a-1 com ambos os fatores maiores que 1, segue que 2^n-1 é composto.

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