Identifique e escreva a cônica dada na forma padrão:
3 x^2-12 x+2 y^2+8 y+14=0

Passo 1

O enunciado dá uma equação geral de segunda ordem em x e y:
3x^2-12x+2y^2+8y+14=0
O conteúdo aqui é identificação de cônicas via completamento de quadrados. A gente vai agrupar termos em x e em y, completar os quadrados, isolar as expressões quadráticas e obter a forma padrão.

Passo 2

Agrupando termos semelhantes e fatorando os coeficientes das partes quadráticas em x e em y:
3l(x^2-4xr);+;2l(y^2+4yr);+;14=0
Agora dentro de cada parêntese vamos completar o quadrado.

Passo 3

Para completar o quadrado em x^2-4x usamos
x^2-4x = (x-2)^2-4,
e em y^2+4y usamos
y^2+4y = (y+2)^2-4
Substituindo na equação:
3l((x-2)^2-4r);+;2l((y+2)^2-4r);+;14=0

Passo 4

Distributo e reúno constantes:
3(x-2)^2-12 ;+;2(y+2)^2-8 ;+;14 = 0
3(x-2)^2+2(y+2)^2 -6 = 0
3(x-2)^2+2(y+2)^2 = 6

Passo 5

Divido ambos os lados por 6 para obter o valor 1 no lado direito:
3(x-2)^26 + 2(y+2)^26 = 1
(x-2)^22 + (y+2)^23 = 1
Essa é a forma padrão de uma elipse centrada em (2,-2), com semi-eixo maior raiz3 (na direção y) e semi-eixo menor raiz2 (na direção x).

Resposta

(x-2)^22 + (y+2)^23 = 1,
que é uma elipse de centro (2,-2).

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