Demonstre que, para todo inteiro k>2, existe um primo p tal que k<p<k!.

Passo 1

O enunciado quer que mostremos que, dado um inteiro k>2, sempre existe um número primo p tal que
k < p < k!
O conteúdo que vamos usar é a fatoração de inteiros (teorema fundamental da aritmética) e uma ideia clássica de número de Euclides, aplicando-a ao inteiro k! - 1.

Passo 2

Observe que, para k>2, temos
k! = 1 cdot 2 cdot 3 cdots k >= 1 cdot 2 cdot 3 = 6,
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k! - 1 >= 5 > 1
Como todo inteiro maior que 1 admite pelo menos um divisor primo, existe um primo p que divide k! - 1.

Passo 3

Suponha, por contradição, que esse primo divisor p satisfaça p <= k. Então p também dividiria
k! = 1 cdot 2 cdot cdots cdot p cdots cdot k
Logo p dividiria a diferença
k! - (k! - 1) = 1,
o que é impossível, pois nenhum primo divide 1. Portanto não pode ocorrer p <= k, e concluímos que
p > k

Passo 4

Finalmente, como p divide k! - 1, temos p <= k! - 1. Assim
p < k!
Combinar estes dois resultados dá exatamente
k < p < k!,
como queríamos demonstrar.

Resposta

Para todo inteiro k>2 existe um primo p tal que
k < p < k!

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