Demonstre que, para todo inteiro
, existe um primo
tal que
.
Passo 1
O enunciado quer que mostremos que, dado um inteiro
, sempre existe um número primo
tal que
O conteúdo que vamos usar é a fatoração de inteiros (teorema fundamental da aritmética) e uma ideia clássica de número de Euclides, aplicando-a ao inteiro
.
Passo 2
Observe que, para
, temos
logo
Como todo inteiro maior que
admite pelo menos um divisor primo, existe um primo
que divide
.
Passo 3
Suponha, por contradição, que esse primo divisor
satisfaça
. Então
também dividiria
Logo
dividiria a diferença
o que é impossível, pois nenhum primo divide
. Portanto não pode ocorrer
, e concluímos que
Passo 4
Finalmente, como
divide
, temos
. Assim
Combinar estes dois resultados dá exatamente
como queríamos demonstrar.
Resposta
Para todo inteiro
existe um primo
tal que