- (a) Prove que para todo
(b) Usando (a), mostre a desigualdade
Passo 1
O enunciado pede:
(a) provar que, para todo ,
(a) provar que, para todo
(b) usando (a), mostrar que
O conteúdo é manipulação de fatoriais e indução.
Passo 2
Prova de (a) por indução em
.
Base
:
O lado esquerdo é . O direito é
O lado esquerdo é
Logo vale para
.
Passo indutivo: suponha que
Para
o produto torna-se
Queremos ver que isso é
Mas
logo
fechando a indução e provando (a).
Passo 3
Para (b), use (a) para escrever
Mas cada fator
pode ser reescrito como
Então
Logo
Passo 4
Note que, para todo
, vale
Logo
Substituindo em
obtemos
que é exatamente a desigualdade de (b).
Resposta
(a)
(b) para todo
.
(b)