1. (a) Prove que para todo n \geq 1
2 \times 6 \times 10 \times \cdots \times(4 n-2)=\frac{(2 n)!}{n!} .
(b) Usando (a), mostre a desigualdade
2^{n}(n!)^{2} \leq(2 n)!\text { para todo } n \geq 1

Passo 1

O enunciado pede:
(a) provar que, para todo n\ge1,
2\times6\times10\times\cdots\times(4n-2)\;=\;\frac{(2n)!}{n!}.
(b) usando (a), mostrar que
2^n\,(n!)^2\;\le\;(2n)!\quad\text{para todo }n\ge1.
O conteúdo é manipulação de fatoriais e indução.

Passo 2

Prova de (a) por indução em n.
Base n=1:
O lado esquerdo é 2. O direito é
\frac{(2\cdot1)!}{1!}=\frac{2!}{1!}=\frac{2}{1}=2.
Logo vale para n=1.
Passo indutivo: suponha que
2\times6\times\cdots\times(4n-2)=\frac{(2n)!}{n!}.
Para n+1 o produto torna-se
2\times6\times\cdots\times(4n-2)\times\bigl(4(n+1)-2\bigr) =\frac{(2n)!}{n!}\times(4n+2).
Queremos ver que isso é
\frac{(2(n+1))!}{(n+1)!} =\frac{(2n+2)!}{(n+1)!} =\frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)n!}.
Mas
\frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} =\frac{2(n+1)(2n+1)}{n+1}=2(2n+1)=4n+2,
logo
\frac{(2n)!}{n!}\,(4n+2) =\frac{(2n+2)!}{(n+1)!},
fechando a indução e provando (a).

Passo 3

Para (b), use (a) para escrever
(2n)! = n!\;\bigl(2\times6\times10\times\cdots\times(4n-2)\bigr).
Mas cada fator 4k-2 pode ser reescrito como
4k-2=2(2k-1).
Então
2\times6\times\cdots\times(4n-2) =2^n\,(1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)) =2^n\prod_{k=1}^n(2k-1).
Logo
(2n)!=n!\;2^n\prod_{k=1}^n(2k-1).

Passo 4

Note que, para todo k\in\{1,2,\dots,n\}, vale
2k-1\;\ge\;k.
Logo
\prod_{k=1}^n(2k-1)\;\ge\;\prod_{k=1}^n k\;=\;n!.
Substituindo em (2n)!=n!\,2^n\prod(2k-1) obtemos
(2n)!\;\ge\;n!\;2^n\;n! =2^n\,(n!)^2,
que é exatamente a desigualdade de (b).

Resposta

(a) \;2\times6\times10\times\cdots\times(4n-2)=\dfrac{(2n)!}{n!}.
(b) \;2^n\,(n!)^2\le(2n)! para todo n\ge1.

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