Sejam a e b números reais tais que a<b+\frac{1}{n}, para todo n \in \mathbb{N}. Mostre que a \leq b.

Passo 1

O enunciado diz que sejam a,b\in\mathbb{R} tais que
a < b + \frac{1}{n}
para todo n\in\mathbb{N}. Precisamos mostrar que a \le b. O conteúdo aqui é a prova por contradição usando a propriedade arquimediana dos reais.

Passo 2

Suponha, por contradição, que
a > b.
Então o número
\delta = a - b
é estritamente positivo, ou seja, \delta>0.

Passo 3

Pela propriedade arquimediana existe N\in\mathbb{N} tal que
\frac{1}{N} < \delta.

Passo 4

Para esse N temos
b + \frac{1}{N} < b + \delta = a.
Mas isso contradiz a hipótese a < b + \tfrac1N, pois aqui teríamos
a < b + \frac{1}{N} < a.

Passo 5

Como chegamos a um absurdo, a suposição a>b é falsa. Logo deve ocorrer a \le b.

Resposta

a \le b.

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