Sejam
e
números reais tais que
, para todo
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que sejam
tais que
para todo
. Precisamos mostrar que
. O conteúdo aqui é a prova por contradição usando a propriedade arquimediana dos reais.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
Então o número
é estritamente positivo, ou seja,
.
Passo 3
Pela propriedade arquimediana existe
tal que
Passo 4
Para esse
temos
Mas isso contradiz a hipótese
, pois aqui teríamos
Passo 5
Como chegamos a um absurdo, a suposição
é falsa. Logo deve ocorrer