Prove que n^{3}-n é um múltiplo de 24 sempre que n for ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sempre que n é ímpar, a expressão
n^3 - n
é múltiplo de 24. O conteúdo aqui é divisão em fatores e propriedades de divisibilidade em produtos de inteiros consecutivos.

Passo 2

Observe que se fatorarmos a expressão temos três inteiros consecutivos:
n^3 - n = (n-1)\,n\,(n+1).
Logo, basta verificar que esse produto é divisível por 24 sempre que n for ímpar.

Passo 3

Como n é ímpar, tanto n-1 quanto n+1 são pares. Além disso, entre dois pares consecutivos um deles é múltiplo de 4.
Portanto (n-1)(n+1) contém um fator 4 e um fator 2, ou seja, é múltiplo de
4\times2 = 8.

Passo 4

Em qualquer sequência de três inteiros consecutivos um deles é múltiplo de 3. Aqui temos exatamente (n-1), n e (n+1), então o produto é múltiplo de 3.

Passo 5

Combinando as duas divisibilidades, o produto (n-1)\,n\,(n+1) é múltiplo de
8\times3 = 24.

Resposta

Como n^3 - n = (n-1)\,n\,(n+1) é múltiplo de 8 e de 3 sempre que n é ímpar, concluímos que ele é múltiplo de 24.

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