Prove que
é um múltiplo de 24 sempre que
for ímpar.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sempre que
é ímpar, a expressão
é múltiplo de 24. O conteúdo aqui é divisão em fatores e propriedades de divisibilidade em produtos de inteiros consecutivos.
Passo 2
Observe que se fatorarmos a expressão temos três inteiros consecutivos:
Logo, basta verificar que esse produto é divisível por 24 sempre que
for ímpar.
Passo 3
Como
é ímpar, tanto
quanto
são pares. Além disso, entre dois pares consecutivos um deles é múltiplo de 4.
Portanto contém um fator 4 e um fator 2, ou seja, é múltiplo de
Portanto
Passo 4
Em qualquer sequência de três inteiros consecutivos um deles é múltiplo de 3. Aqui temos exatamente
,
e
, então o produto é múltiplo de 3.
Passo 5
Combinando as duas divisibilidades, o produto
é múltiplo de
Resposta
Como
é múltiplo de 8 e de 3 sempre que
é ímpar, concluímos que ele é múltiplo de 24.