Encontre o valor exato da integral definida abaixo:
integral2^7(x^2-2 x) d x

Passo 1

Nesse exercício a gente vai calcular a integral definida de um polinômio entre 2 e 7. O conteúdo envolve integração de polinômios e o Teorema Fundamental do Cálculo, onde primeiro encontramos uma antiderivada e depois aplicamos os limites.

Passo 2

Para encontrar a antiderivada de x^2 - 2x, usamos a regra do poder: integral x^n dx = x^n+1n+1 + C. Assim,
F(x) = integral (x^2 - 2x),dx = x^33 - x^2 + C

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral2^7(x^2 - 2x),dx = F(7) - F(2)

Passo 4

Calculando cada termo:
F(7)=7^33-7^2=3433-49=343-1473=1963,
F(2)=2^33-2^2=83-4=8-123=-43

Passo 5

Então a diferença é
F(7)-F(2)=1963-l(-43r)=196+43=2003

Resposta

2003

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