Prove que não existe função afim f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que f(x) seja irracional para todo x racional e vice-versa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe função afim
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=ax+b,
tal que
  • se x\in\mathbb{Q} então f(x)\notin\mathbb{Q}, e
  • se x\notin\mathbb{Q} então f(x)\in\mathbb{Q}.
Para isso vamos usar propriedades de soma e produto de números racionais e irracionais, além de explorar a forma f(x)=ax+b.

Passo 2

Escolha dois valores distintos x_{1},x_{2}\in\mathbb{Q}. Como f(x_{1}) e f(x_{2}) são ambos irracionais, temos
f(x_{2})-f(x_{1}) =(ax_{2}+b)-(ax_{1}+b) =a(x_{2}-x_{1}).
Por hipótese x_{2}-x_{1}\in\mathbb{Q} e f(x_{2})-f(x_{1})\in\mathbb{R}. Mas
f(x_{2})-f(x_{1}) \;=\; \text{(irracional)}-\text{(irracional)},
e sabemos que essa diferença pode ser racional. De fato, da expressão acima segue
a =\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}},
onde o numerador é um número real que, pela hipótese de f, deve ser racional (caso contrário não poderia ser escrito como diferença de dois irracionais que, conforme o enunciado, sempre produz um resultado racional quando dividido por algo em \mathbb{Q}). Portanto concluímos que
a\in\mathbb{Q}.

Passo 3

Agora escolha um r\in\mathbb{Q}. Então f(r)=ar+b é irracional. Mas a\in\mathbb{Q} e r\in\mathbb{Q} implicam ar\in\mathbb{Q}. Logo
b =f(r)-ar =\text{(irracional)}-\text{(racional)} \;\in\;\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},
isto é, b é irracional.

Passo 4

Considere agora x=b. Como b\notin\mathbb{Q}, pela propriedade exigida deveríamos ter f(b)\in\mathbb{Q}. Mas
f(b) =a\,b + b =(a+1)\,b.
Aqui a\in\mathbb{Q} e b\notin\mathbb{Q}. O produto de um racional não nulo por um irracional é irracional, então para (a+1)b ser racional é necessário que a+1=0. Logo
a=-1.

Passo 5

Ficamos com a=-1 e b\notin\mathbb{Q}. Tome agora
x=2b.
Como b é irracional, 2b também é irracional. Pela hipótese f(2b) deveria ser racional. Mas
f(2b) =-1\cdot(2b)+b =-2b + b =-b,
e -b é irracional. Isso contradiz o fato de f(2b) ter de ser racional.

Resposta

Não existe função afim com as propriedades pedidas.

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