Prove que não existe função afim
tal que
seja irracional para todo
racional e vice-versa.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe função afim
tal que
- se
então , e - se
então .
Para isso vamos usar propriedades de soma e produto de números racionais e irracionais, além de explorar a forma
.
Passo 2
Escolha dois valores distintos
. Como
e
são ambos irracionais, temos
Por hipótese
e
. Mas
e sabemos que essa diferença pode ser racional. De fato, da expressão acima segue
onde o numerador é um número real que, pela hipótese de
, deve ser racional (caso contrário não poderia ser escrito como diferença de dois irracionais que, conforme o enunciado, sempre produz um resultado racional quando dividido por algo em
). Portanto concluímos que
Passo 3
Agora escolha um
. Então
é irracional. Mas
e
implicam
. Logo
isto é,
é irracional.
Passo 4
Considere agora
. Como
, pela propriedade exigida deveríamos ter
. Mas
Aqui
e
. O produto de um racional não nulo por um irracional é irracional, então para
ser racional é necessário que
. Logo
Passo 5
Ficamos com
e
. Tome agora
Como
é irracional,
também é irracional. Pela hipótese
deveria ser racional. Mas
e
é irracional. Isso contradiz o fato de
ter de ser racional.
Resposta
Não existe função afim com as propriedades pedidas.