Encontre todas as funções afins f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} que satisfazem f(f(x))=4 x-3.

Passo 1

O enunciado pede todas as funções afins f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} tais que f(f(x))=4x-3. Vamos usar composição de funções afins e comparação de coeficientes de polinômios para encontrar f(x)=ax+b.

Passo 2

Suponha
f(x)=ax+b.
Então
f(f(x))=a\bigl(a x+b\bigr)+b=a^2x+ab+b.

Passo 3

Para que f(f(x))=4x-3 valha para todo x, igualamos coeficientes em
a^2x+ab+b \;=\;4x-3.
Isto leva a
a^2=4,
ab+b=-3\quad\Longleftrightarrow\quad b\,(a+1)=-3.

Passo 4

Da equação a^2=4 vem a=2 ou a=-2. Em cada caso,
  • Se a=2, então b(2+1)=-3, logo b=-1.
  • Se a=-2, então b(-2+1)=-3, logo b=3.

Resposta

As funções que satisfazem são
f(x)=2x-1
e
f(x)=-2x+3.

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