QUESTÃO 4 [valor: 2,0 pontos]

Analise a natureza dos pontos críticos da função f(x, y)=x^{3}+3 x y^{2}-3 x^{2}-3 y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de
f(x,y)=x^{3}+3xy^{2}-3x^{2}-3y^{2}
e usar o teste da segunda derivada (Hessiana) para determinar se cada ponto é máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos precisar de derivadas parciais, montar o sistema \nabla f=0, encontrar a matriz Hessiana e aplicar o critério D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
f_x = \frac{\partial f}{\partial x}=3x^2+3y^2-6x, \quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}=6xy-6y.
O sistema \nabla f=0 é
3(x^2+y^2-2x)=0, \quad 6y(x-1)=0.

Passo 3

Simplificando:
1. x^2+y^2-2x=0 \implies (x-1)^2+y^2=1,
2. y=0 ou x=1.
Se y=0 então x^2-2x=0 \implies x=0 ou x=2.
Se x=1 então (1-1)^2+y^2=1 \implies y=\pm1.
Logo os pontos críticos são
(0,0),\quad (2,0),\quad (1,1),\quad (1,-1).

Passo 4

Agora a Hessiana:
f_{xx}=6x-6,\quad f_{xy}=6y,\quad f_{yy}=6x-6.
O discriminante do teste é
D = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 = (6x-6)^2-(6y)^2 =36\bigl((x-1)^2-y^2\bigr).
Para cada ponto calculamos (f_{xx},D):
1. Em (0,0):
f_{xx}=6\cdot0-6=-6,
D=36((0-1)^2-0)=36>0.
Como D>0 e f_{xx}<0, é máximo local.
2. Em (2,0):
f_{xx}=6\cdot2-6=6,
D=36((2-1)^2-0)=36>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, é mínimo local.
3. Em (1,1):
f_{xx}=6\cdot1-6=0,
D=36((1-1)^2-1)= -36<0.
Como D<0, é ponto de sela.
4. Em (1,-1):
f_{xx}=0,
D=36((1-1)^2-1)= -36<0.
Também ponto de sela.

Resposta

(0,0) é máximo local.
(2,0) é mínimo local.
(1,1) e (1,-1) são pontos de sela.

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