QUESTÃO 4 [valor: 2,0 pontos]
Analise a natureza dos pontos críticos da função
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
e usar o teste da segunda derivada (Hessiana) para determinar se cada ponto é máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos precisar de derivadas parciais, montar o sistema
, encontrar a matriz Hessiana e aplicar o critério
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
O sistema
é
Passo 3
Simplificando:
.
,
.
ou
.
Se então
ou
.
Se então
.
Logo os pontos críticos são
Se
Se
Logo os pontos críticos são
Passo 4
Agora a Hessiana:
O discriminante do teste é
Para cada ponto calculamos
:
Como
Como
Como
Também ponto de sela.