Prove que não existe grupo simples de ordem 160.

Passo 1

Vamos provar que não há grupo simples de ordem
160 = 2^5 cdot 5
O que precisamos: o Teorema de Sylow para contar subgrupos de ordem 5 e, a seguir, o fato de que um grupo simples que age por conjugação sobre um conjunto de n elementos injeta em Sn.

Passo 2

Pelo Teorema de Sylow, o número n5 de subgrupos de Sylow de ordem 5 satisfaz
n5 equiv 1 pmod 5 e n5 mid 2^5 = 32
Os divisores de 32 congruentes a 1 módulo 5 são apenas 1 e 6.
  • Se n5=1, há um único Sylow-5 e ele é normal, então o grupo não é simples.
  • Logo, num grupo simples seria forçoso n5=6.

Passo 3

Considere a ação de G por conjugação no conjunto S dos seus 6 subgrupos de ordem 5. Isso define um homomorfismo
varphicolon G ;longrightarrow; S6
Se kervarphi for não trivial, então kervarphi é um subgrupo normal próprio de G, impedindo G de ser simples.

Passo 4

Se, ao contrário, kervarphi fosse trivial, então varphi seria injetora e
G ;simeq; varphi(G) ;subseteq; S6,
logo lvert Grvert dividiria lvert S6rvert=6!=720. Mas 720/160 não é inteiro ( 720=4cdot160+80), contradição.

Resposta

Não existe grupo simples de ordem 160.

Exercícios relacionados