Prove que não existe grupo simples de ordem 160.
Passo 1
Vamos provar que não há grupo simples de ordem
O que precisamos: o Teorema de Sylow para contar subgrupos de ordem 5 e, a seguir, o fato de que um grupo simples que age por conjugação sobre um conjunto de
elementos injeta em
.
Passo 2
Pelo Teorema de Sylow, o número
de subgrupos de Sylow de ordem 5 satisfaz
Os divisores de 32 congruentes a 1 módulo 5 são apenas
e
.
- Se
, há um único Sylow-5 e ele é normal, então o grupo não é simples. - Logo, num grupo simples seria forçoso
.
Passo 3
Considere a ação de
por conjugação no conjunto
dos seus 6 subgrupos de ordem 5. Isso define um homomorfismo
Se
for não trivial, então
é um subgrupo normal próprio de
, impedindo
de ser simples.
Passo 4
Se, ao contrário,
fosse trivial, então
seria injetora e
logo
dividiria
. Mas
não é inteiro (
), contradição.
Resposta
Não existe grupo simples de ordem
.