Prove que não existe grupo simples de ordem 280.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe grupo simples (sem subgrupos normais próprios) de ordem
O conteúdo principal aqui é aplicar os teoremas de Sylow para contar subgrupos de Sylow e depois usar a ação de conjugação em Sylow‐7 para obter um monomorfismo em
. Em seguida veremos que não há subgrupo simples de
de ordem 280.
Passo 2
Aplicando Sylow ao primo
:
– A ordem de um Sylow-7 é .
– O número de Sylow-7 satisfaz
– A ordem de um Sylow-7 é
– O número
Os divisores de 40 congruentes a 1 mod 7 são apenas
e
. Se
, o único Sylow-7 seria normal e o grupo não seria simples. Logo, num grupo simples deve ocorrer
Passo 3
Agora aplique Sylow ao primo
:
– A ordem de um Sylow-5 é .
– O número de Sylow-5 satisfaz
– A ordem de um Sylow-5 é
– O número
Os divisores de 56 congruentes a
mod
são
e
. Se
haveria um Sylow-5 normal. Num simples fica
Passo 4
Considere agora a ação de conjugação de
sobre o conjunto
dos seus Sylow-7 (há 8 deles). Essa ação dá um homomorfismo
O núcleo de
é a interseção de todos os normalizadores
dos Sylow-7
. Cada normalizador tem índice 8 em
, logo ordem
. Um grupo de ordem
, com
, é cíclico, portanto seu único Sylow-7 e seu único Sylow-5 são normais em
. Se dois normalizadores distintos tivessem interseção não trivial, dividiria quinze ou sete, o que forçaria coincidência dos Sylow que eles contêm. Conclui‐se que a interseção de todos eles é trivial, ou seja
. Assim
é um embedding. Em particular,
é isomorfo a um subgrupo transitivo de
de ordem 280.
Passo 5
Em
, qualquer 7-ciclo é de fato um elemento de ordem 7 e fixa exatamente 1 ponto, movendo os outros 7 num ciclo. Teoremas clássicos de teoria de grupos de permutação (teorema de Jordan e classificação dos subgrupos 2-transitivos de grau 8) dizem que um subgrupo transitivo de
que contém uma 7-ciclo deve ser ou
-
(ordem ), -
(ordem ), - o grupo afim
de ordem 168, - ou o grupo
de ordem 336.
Nenhum desses tem ordem 280.
Resposta
Não existe grupo simples de ordem
.