Prove que não existe grupo simples de ordem 280.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe grupo simples (sem subgrupos normais próprios) de ordem
280 ;=;2^3cdot5cdot7
O conteúdo principal aqui é aplicar os teoremas de Sylow para contar subgrupos de Sylow e depois usar a ação de conjugação em Sylow‐7 para obter um monomorfismo em S8. Em seguida veremos que não há subgrupo simples de S8 de ordem 280.

Passo 2

Aplicando Sylow ao primo 7:
– A ordem de um Sylow-7 é 7.
– O número n7 de Sylow-7 satisfaz
n7equiv1pmod7, n7mid2807=40
Os divisores de 40 congruentes a 1 mod 7 são apenas 1 e 8. Se n7=1, o único Sylow-7 seria normal e o grupo não seria simples. Logo, num grupo simples deve ocorrer
n7=8

Passo 3

Agora aplique Sylow ao primo 5:
– A ordem de um Sylow-5 é 5.
– O número n5 de Sylow-5 satisfaz
n5equiv1pmod5, n5mid2805=56
Os divisores de 56 congruentes a 1 mod 5 são 1 e 56. Se n5=1 haveria um Sylow-5 normal. Num simples fica
n5=56

Passo 4

Considere agora a ação de conjugação de G sobre o conjunto X dos seus Sylow-7 (há 8 deles). Essa ação dá um homomorfismo
varphicolon G;longrightarrow;S8
O núcleo de varphi é a interseção de todos os normalizadores NG(P) dos Sylow-7 P. Cada normalizador tem índice 8 em G, logo ordem |NG(P)|=280/8=35. Um grupo de ordem 35=5cdot7, com 5notmid(7-1), é cíclico, portanto seu único Sylow-7 e seu único Sylow-5 são normais em NG(P). Se dois normalizadores distintos tivessem interseção não trivial, dividiria quinze ou sete, o que forçaria coincidência dos Sylow que eles contêm. Conclui‐se que a interseção de todos eles é trivial, ou seja kervarphi=1. Assim
G;hookrightarrow;S8
é um embedding. Em particular, G é isomorfo a um subgrupo transitivo de S8 de ordem 280.

Passo 5

Em S8, qualquer 7-ciclo é de fato um elemento de ordem 7 e fixa exatamente 1 ponto, movendo os outros 7 num ciclo. Teoremas clássicos de teoria de grupos de permutação (teorema de Jordan e classificação dos subgrupos 2-transitivos de grau 8) dizem que um subgrupo transitivo de S8 que contém uma 7-ciclo deve ser ou
  • S8 (ordem 8!=40320),
  • A8 (ordem 8!/2=20160),
  • o grupo afim AGL(3,2) de ordem 168,
  • ou o grupo PGL(2,7) de ordem 336.
    Nenhum desses tem ordem 280.

Resposta

Não existe grupo simples de ordem 280.

Exercícios relacionados