Prove que não existe um número natural n, tal que 4 < n < 5
Passo 1
O enunciado pede para provar que não existe um número natural
que satisfaça a desigualdade
.
Informações dadas (explicitadas):
- O conjunto dos números naturais será entendido como
ou (em qualquer convenção, os naturais são inteiros). - Queremos mostrar que nenhum elemento de
pertence ao intervalo aberto .
Passo 2
Vamos lembrar e explicar uma propriedade básica e intuitiva dos inteiros (e, portanto, dos naturais): entre dois inteiros consecutivos
e
não existe outro inteiro. Isso significa, por exemplo, que não há inteiro estritamente entre
e
. Vou justificar essa ideia de forma bem clara.
Justificação do fato "não existe inteiro entre
e
" — argumento elementar. Seja
um inteiro. Se
é um inteiro e
, então a diferença
é um inteiro positivo. O menor inteiro positivo é
. Logo, se
é inteiro e
então
. Assim, não pode acontecer que
com
inteiro, porque isso exigiria um inteiro estritamente entre
e
, o que contradiz que o menor salto entre inteiros é
.
Passo 3
Agora aplicamos isso ao caso concreto
. Suponha, para chegar a uma contradição, que exista
com
Como
(naturais são inteiros),
é um inteiro. Pelo argumento do passo anterior, não pode existir inteiro estritamente entre
e
.
Passo 4
Outra forma equivalente e muito direta da mesma contradição: se
é inteiro então
também é inteiro. A desigualdade
traduz-se em
ou seja,
Mas não existe inteiro
satisfazendo
, porque o menor inteiro estritamente positivo é
. Portanto obtemos contradição.
Passo 5
Como a hipótese "existe
tal que
" leva a uma contradição lógica, concluímos que tal
não existe.
Resposta
Não existe nenhum número natural
tal que
.