Prove que não existe um número natural n, tal que 4 < n < 5

Passo 1

O enunciado pede para provar que não existe um número natural n que satisfaça a desigualdade 4 < n < 5.
Informações dadas (explicitadas):
  • O conjunto dos números naturais será entendido como \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} ou \{1,2,3,\dots\} (em qualquer convenção, os naturais são inteiros).
  • Queremos mostrar que nenhum elemento de \mathbb{N} pertence ao intervalo aberto (4,5).

Passo 2

Vamos lembrar e explicar uma propriedade básica e intuitiva dos inteiros (e, portanto, dos naturais): entre dois inteiros consecutivos k e k+1 não existe outro inteiro. Isso significa, por exemplo, que não há inteiro estritamente entre 4 e 5. Vou justificar essa ideia de forma bem clara.
Justificação do fato "não existe inteiro entre k e k+1" — argumento elementar. Seja k um inteiro. Se m é um inteiro e k < m, então a diferença m-k é um inteiro positivo. O menor inteiro positivo é 1. Logo, se m é inteiro e k < m então m \ge k+1. Assim, não pode acontecer que k < m < k+1 com m inteiro, porque isso exigiria um inteiro estritamente entre k e k+1, o que contradiz que o menor salto entre inteiros é 1.

Passo 3

Agora aplicamos isso ao caso concreto k=4. Suponha, para chegar a uma contradição, que exista n\in\mathbb{N} com
4 < n < 5.
Como \mathbb{N}\subset\mathbb{Z} (naturais são inteiros), n é um inteiro. Pelo argumento do passo anterior, não pode existir inteiro estritamente entre 4 e 5.

Passo 4

Outra forma equivalente e muito direta da mesma contradição: se n é inteiro então m:=n-4 também é inteiro. A desigualdade 4<n<5 traduz-se em
0 < n-4 < 1,
ou seja,
0 < m < 1.
Mas não existe inteiro m satisfazendo 0<m<1, porque o menor inteiro estritamente positivo é 1. Portanto obtemos contradição.

Passo 5

Como a hipótese "existe n\in\mathbb{N} tal que 4<n<5" leva a uma contradição lógica, concluímos que tal n não existe.

Resposta

Não existe nenhum número natural n tal que 4 < n < 5.

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