Questão 02(6,0) : A população de um tipo especial de bactéria, quando colocada em meio de cultura, triplica a cada 8 horas. Sabe-se que uma população inicial de 1.000 bactérias desse tipo foi colocada em meio de cultura. Considerando essas informações:
(a) Determine a expressão da população P, de bactérias, em função do tempo t em horas.
(b) Determine a expressão da população P, de bactérias, em função do tempo t em dias.
(c) Escreva a função inversa de P apresentada no item (a) e interprete-a.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • População inicial: \,P(0)=1000 (mil bactérias).
    • A população triplica a cada 8 horas (ou seja, a cada intervalo de 8 horas o fator multiplicativo é 3).
  • Perguntas:
    • (a) Determine a expressão da população P em função do tempo t em horas.
    • (b) Determine a expressão da população P em função do tempo t em dias.
    • (c) Escreva a função inversa de P apresentada no item (a) e interprete-a.

Passo 2

Entendendo o modelo e a fórmula geral (aula rápida): quando uma quantidade cresce multiplicando por um mesmo fator a cada intervalo de tempo fixo, isso é crescimento exponencial. Se:
  • \,P_0 é a população inicial (quando t=0),
  • a é o fator multiplicativo a cada intervalo de duração \,T,
então, para tempo t medido nas mesmas unidades de T, a população é dada por
P(t)=P_0\cdot a^{t/T}.
Explicando as variáveis:
  • \,P(t) é a população no instante t;
  • \,P_0 é a população inicial quando t=0;
  • \,a^{t/T} expressa quantas vezes o fator a foi aplicado: se t for múltiplo de T, t/T é inteiro e aplica-se a esse número de vezes; se t for fracionário, usa-se a raiz correspondente (por exemplo, metade de T a^{1/2}).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso (resolvendo o item (a)):
  • Aqui \,P_0=1000.
  • O fator a cada T=8 horas é \,a=3.
Substituindo na fórmula
P(t)=1000\cdot 3^{t/8},
onde t está em horas.
Interpretação prática rápida:
  • Para t=0: P(0)=1000\cdot3^{0}=1000 (confere).
  • Para t=8 horas: P(8)=1000\cdot3^{1}=3000 (triplicou).
  • Para t=4 horas (metade de 8): P(4)=1000\cdot3^{1/2}=1000\sqrt{3} (crescimento contínuo representado pela potência fracionária).

Passo 4

Resolver o item (b): expressão em função do tempo medido em dias.
Agora suponha que t represente dias. Então t dias correspondem a 24t horas. Pegando a fórmula do item (a) e substituindo t_{\text{(horas)}}=24t_{\text{(dias)}} obtemos
P(t)=1000\cdot 3^{(24t)/8}.
Simplificando o expoente, \,24/8=3, então
P(t)=1000\cdot 3^{3t},
onde agora t está em dias. Exemplo rápido: para t=1 dia obtemos P(1)=1000\cdot3^{3}=1000\cdot27=27000.

Passo 5

Resolver o item (c): função inversa de P do item (a) e interpretação.
Partimos da fórmula do item (a):
P=1000\cdot 3^{t/8}.
Queremos a inversa, isto é, expressar t como função de P. Passos algébricos:
  1. Dividir ambos os lados por 1000:
\frac{P}{1000}=3^{t/8}.
  1. Aplicar logaritmo de base 3 (ou log natural) para “trazer o expoente para baixo”. Usando log base 3:
\log_{3}\!\left(\frac{P}{1000}\right)=\frac{t}{8}.
  1. Isolando t:
t=8\log_{3}\!\left(\frac{P}{1000}\right).
Forma alternativa usando log natural \ln:
t=8\frac{\ln\!\left(\dfrac{P}{1000}\right)}{\ln 3}.
Interpretação prática da inversa:
  • Domínio e imagem: a função exponencial original (se permitirmos t\in\mathbb{R}) tem imagem (0,\infty), então a inversa existe para qualquer P>0. Se, no contexto real, considerarmos apenas t\ge 0 (tempo futuro), então a imagem prática é P\ge 1000 e a inversa é definida para P\ge 1000.
  • Significado: a inversa dá o tempo t (em horas) necessário para que a população cresça de 1000 para um dado valor P. Por exemplo, para P=3000 obtém-se t=8\log_{3}(3)=8 horas (confere com o fato de triplicar em 8 horas).

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (ânimo!): escreva claramente que o modelo é exponencial e indique as unidades de t. Se pedirem parâmetro em outra unidade, faça sempre a conversão (horas ↔ dias) antes de substituir. Para inverter exponenciais, sempre pense em “aplicar logaritmo” para extrair o expoente. Vai dar certo — respira, faz com calma e copia a estrutura que fiz acima na folha.

Resposta

(a) P(t)=1000\cdot 3^{t/8}
(b) P(t)=1000\cdot 3^{3t}
(c) P^{-1}(P)=8\log_{3}\!\left(\dfrac{P}{1000}\right)=8\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{P}{1000}\right)}{\ln 3}

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