Questão
: A população de um tipo especial de bactéria, quando colocada em meio de cultura, triplica a cada 8 horas. Sabe-se que uma população inicial de 1.000 bactérias desse tipo foi colocada em meio de cultura. Considerando essas informações:
(a) Determine a expressão da população
, de bactérias, em função do tempo
em horas.
(b) Determine a expressão da população
, de bactérias, em função do tempo
em dias.
(c) Escreva a função inversa de P apresentada no item (a) e interprete-a.
(a) Determine a expressão da população
(b) Determine a expressão da população
(c) Escreva a função inversa de P apresentada no item (a) e interprete-a.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- Dados fornecidos:
- População inicial:
(mil bactérias). - A população triplica a cada
horas (ou seja, a cada intervalo de horas o fator multiplicativo é ).
- População inicial:
- Perguntas:
- (a) Determine a expressão da população
em função do tempo em horas. - (b) Determine a expressão da população
em função do tempo em dias. - (c) Escreva a função inversa de
apresentada no item (a) e interprete-a.
- (a) Determine a expressão da população
Passo 2
Entendendo o modelo e a fórmula geral (aula rápida): quando uma quantidade cresce multiplicando por um mesmo fator a cada intervalo de tempo fixo, isso é crescimento exponencial. Se:
-
é a população inicial (quando ), -
é o fator multiplicativo a cada intervalo de duração ,
então, para tempo
medido nas mesmas unidades de
, a população é dada por
Explicando as variáveis:
-
é a população no instante ; -
é a população inicial quando ; -
expressa quantas vezes o fator foi aplicado: se for múltiplo de , é inteiro e aplica-se esse número de vezes; se for fracionário, usa-se a raiz correspondente (por exemplo, metade de dá ).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso (resolvendo o item (a)):
- Aqui
. - O fator a cada
horas é .
Substituindo na fórmula
onde
está em horas.
Interpretação prática rápida:
Interpretação prática rápida:
- Para
: (confere). - Para
horas: (triplicou). - Para
horas (metade de 8): (crescimento contínuo representado pela potência fracionária).
Passo 4
Resolver o item (b): expressão em função do tempo medido em dias.
Agora suponha que
represente dias. Então
dias correspondem a
horas. Pegando a fórmula do item (a) e substituindo
obtemos
Simplificando o expoente,
, então
onde agora
está em dias. Exemplo rápido: para
dia obtemos
.
Passo 5
Resolver o item (c): função inversa de
do item (a) e interpretação.
Partimos da fórmula do item (a):
Queremos a inversa, isto é, expressar
como função de
. Passos algébricos:
- Dividir ambos os lados por
:
- Aplicar logaritmo de base
(ou log natural) para “trazer o expoente para baixo”. Usando log base :
- Isolando
:
Forma alternativa usando log natural
:
Interpretação prática da inversa:
- Domínio e imagem: a função exponencial original (se permitirmos
) tem imagem , então a inversa existe para qualquer . Se, no contexto real, considerarmos apenas (tempo futuro), então a imagem prática é e a inversa é definida para . - Significado: a inversa dá o tempo
(em horas) necessário para que a população cresça de para um dado valor . Por exemplo, para obtém-se horas (confere com o fato de triplicar em 8 horas).
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (ânimo!): escreva claramente que o modelo é exponencial e indique as unidades de
. Se pedirem parâmetro em outra unidade, faça sempre a conversão (horas ↔ dias) antes de substituir. Para inverter exponenciais, sempre pense em “aplicar logaritmo” para extrair o expoente. Vai dar certo — respira, faz com calma e copia a estrutura que fiz acima na folha.
Resposta
(a)
(b)
(c)