Tenho dois discos. Em cada um deles assinalei dois números, um de cada lado. Atiro os discos ao ar. Quando caiem no chão adiciono os números que se vêem. Desta forma consigo obter sempre 4 totais diferentes. Por exemplo, se marcar:
→ um disco com 5 de um lado e 3 do outro;
→ o outro disco com 4 de um lado e 8 do outro.
Posso obter os totais:
e
.
Imagine agora que, depois de marcar os meus discos, verifico que os totais possíveis são 8, 10, 11 e 13, responda:
(a) Quais foram os números que assinalei nos meus discos?
(b) Qualquer conjunto de quatro números pode ser um conjunto dos totais de dois discos?
(c) Quantos totais diferentes são possíveis com 3, 4, 5, etc. discos?
→ o outro disco com 4 de um lado e 8 do outro.
Imagine agora que, depois de marcar os meus discos, verifico que os totais possíveis são 8, 10, 11 e 13, responda:
(a) Quais foram os números que assinalei nos meus discos?
(b) Qualquer conjunto de quatro números pode ser um conjunto dos totais de dois discos?
(c) Quantos totais diferentes são possíveis com 3, 4, 5, etc. discos?
Passo 1
O enunciado dá que há dois discos, em cada um marquei dois números (um em cada face). Ao lançar os dois discos obtemos quatro totais possíveis, que correspondem a escolher uma face de cada disco e somar os números visíveis. Os totais dados são
.
Vou listar claramente o que se pede:
(a) Determinar os quatro números marcados nos dois discos (dois em cada).
(b) Dizer se qualquer conjunto de quatro números pode ser o conjunto dos totais de dois discos.
(c) Perguntar, em geral, quantos totais diferentes são possíveis com discos.
(a) Determinar os quatro números marcados nos dois discos (dois em cada).
(b) Dizer se qualquer conjunto de quatro números pode ser o conjunto dos totais de dois discos.
(c) Perguntar, em geral, quantos totais diferentes são possíveis com
Informações relevantes do enunciado:
- Existem dois discos com números
no primeiro (um em cada face) e no segundo. - Os totais possíveis são
. - Os quatro totais fornecidos são
.
Passo 2
Modelagem matemática e observação útil (intuição que ajuda muito na prova).
Seja, sem perda de generalidade, que os quatro totais ordenados crescentemente sejam
No nosso caso
e, ordenando:
.
Repare numa identidade sempre verdadeira para somas do tipo
:
Isto implica a condição
Vamos verificar com os números dados:
logo a condição é satisfeita — portanto esses quatro números podem vir de dois discos (pelo menos não são eliminados por essa condição).
Passo 3
Resolver explicitamente para encontrar os números marcados (procedimento algébrico passo a passo).
Assumimos uma correspondência dos totais com as somas:
Subtraindo as duas primeiras equações:
Subtraindo a primeira da terceira:
Agora use
. Escrevendo
e
em função de
e
:
Isto dá uma família de soluções paramétrica: escolha um
qualquer, então
Note que há um grau de liberdade (uma incógnita livre) porque as quatro equações originais não são independentes — a identidade da soma total faz com que o sistema tenha uma dependência linear. Portanto há infinitas soluções reais; se restringirmos a inteiros ou a não-negativos isso restringe
a um conjunto adequado.
Para dar uma solução simples e “bonitinha” (inteira e positiva) escolhemos, por exemplo,
. Assim
Verificação rápida:
tudo confere.
Passo 4
Comentário sobre unicidade e família de soluções (o que é permitido na prova).
- A solução não é única: qualquer valor de
(real) dá uma solução real pela fórmula no primeiro disco e no segundo disco. Por exemplo, dá discos e ; dá discos e (note que trocar discos ou trocar as faces não muda o conjunto dos totais). - Se exigirmos números inteiros não-negativos, então
pode ser escolhido entre e (inclusive) para que e sejam também inteiros não-negativos; se exigirmos inteiros estritamente positivos, fica em . - Em provas normalmente basta fornecer uma solução concreta (como
e ) e explicar que não é única, dando a forma geral.
Passo 5
Resposta à pergunta (b): condição necessária e suficiente (explicação e construção).
Necessidade: Já vimos que se os totais vêm de dois discos então necessariamente
porque ambos os lados valem
.
Suficiência (construção): se quatro números ordenados
satisfazem
, então existe uma marcação de dois discos que produz exatamente esses totais. Uma construção simples é escolher arbitrariamente
(por exemplo
), colocar
,
e
. Verifica-se que com essa escolha
usando a igualdade
para garantir a última identidade. Portanto a condição é também suficiente.
Conclusão para (b): Nem todo conjunto de quatro números funciona; o critério exato é
Passo 6
Resposta à pergunta (c): generalização para
discos (intuição com soma de diferenças, máximos e mínimos).
Se temos
discos, no disco
as faces valem
e
. Tome
e defina as diferenças
Então qualquer total possível é da forma
onde
é um subconjunto de
. Portanto os totais possíveis são exatamente os valores obtidos somando subconjuntos do multiconjunto
e somando
.
Consequências:
- O número máximo possível de totais distintos é
(todas as escolhas de faces dão somas distintas). Esse máximo é atingível — por exemplo escolha como potências de , , então todas as somas de subconjuntos são diferentes. - O número mínimo possível de totais distintos depende das restrições:
- Se permitirmos
(faces iguais num disco), o número mínimo é (todos os totais iguais). - Se exigirmos
mas permitirmos repetições, um exemplo com todos os iguais (por exemplo todos iguais a ) produz exatamente totais distintos: . Assim, sob a condição “cada disco tem duas faces com números distintos” e diferenças todas iguais, o número mínimo possível é .
- Se permitirmos
- Em resumo: com
discos o número de totais distintos pode variar entre e ; se se assume que em cada disco as duas faces têm números diferentes (ou seja, para todo ), então o número mínimo possível é e o máximo é .
Resposta
(a) Por exemplo, uma solução é discos
e
. Em geral há a família de soluções
e
para qualquer
(reais ou inteiros conforme a restrição).
(b) Nem todo conjunto de quatro números funciona; o critério necessário e suficiente é (com
).
(c) Com discos o número de totais distintos varia entre
e
; se cada disco deve ter faces diferentes (diferenças não nulas) o mínimo possível é
e o máximo é
.
(b) Nem todo conjunto de quatro números funciona; o critério necessário e suficiente é
(c) Com