Tenho dois discos. Em cada um deles assinalei dois números, um de cada lado. Atiro os discos ao ar. Quando caiem no chão adiciono os números que se vêem. Desta forma consigo obter sempre 4 totais diferentes. Por exemplo, se marcar:
→ um disco com 5 de um lado e 3 do outro;
→ o outro disco com 4 de um lado e 8 do outro.
Posso obter os totais: 9=5+4,13=5+8,7=3+4 e 11=3+8.
Imagine agora que, depois de marcar os meus discos, verifico que os totais possíveis são 8, 10, 11 e 13, responda:
(a) Quais foram os números que assinalei nos meus discos?
(b) Qualquer conjunto de quatro números pode ser um conjunto dos totais de dois discos?
(c) Quantos totais diferentes são possíveis com 3, 4, 5, etc. discos?

Passo 1

O enunciado dá que há dois discos, em cada um marquei dois números (um em cada face). Ao lançar os dois discos obtemos quatro totais possíveis, que correspondem a escolher uma face de cada disco e somar os números visíveis. Os totais dados são 8,10,11,13.
Vou listar claramente o que se pede:
(a) Determinar os quatro números marcados nos dois discos (dois em cada).
(b) Dizer se qualquer conjunto de quatro números pode ser o conjunto dos totais de dois discos.
(c) Perguntar, em geral, quantos totais diferentes são possíveis com 3,4,5,\ldots discos.
Informações relevantes do enunciado:
  • Existem dois discos com números \{a,b\} no primeiro (um em cada face) e \{c,d\} no segundo.
  • Os totais possíveis são \{a+c,\;a+d,\;b+c,\;b+d\}.
  • Os quatro totais fornecidos são 8,10,11,13.

Passo 2

Modelagem matemática e observação útil (intuição que ajuda muito na prova).
Seja, sem perda de generalidade, que os quatro totais ordenados crescentemente sejam
t_1\le t_2\le t_3\le t_4.
No nosso caso \{t_1,t_2,t_3,t_4\}=\{8,10,11,13\} e, ordenando: t_1=8,\;t_2=10,\;t_3=11,\;t_4=13.
Repare numa identidade sempre verdadeira para somas do tipo a+c,\;a+d,\;b+c,\;b+d:
(a+c)+(b+d) = (a+d)+(b+c) = a+b+c+d.
Isto implica a condição
t_1+t_4=t_2+t_3.
Vamos verificar com os números dados:
8+13=21,\qquad 10+11=21,
logo a condição é satisfeita — portanto esses quatro números podem vir de dois discos (pelo menos não são eliminados por essa condição).

Passo 3

Resolver explicitamente para encontrar os números marcados (procedimento algébrico passo a passo).
Assumimos uma correspondência dos totais com as somas:
a+c=t_1=8,\qquad a+d=t_2=10,\qquad b+c=t_3=11,\qquad b+d=t_4=13.
Subtraindo as duas primeiras equações:
(a+d)-(a+c)=d-c=10-8=2 \quad\Rightarrow\quad d=c+2.
Subtraindo a primeira da terceira:
(b+c)-(a+c)=b-a=11-8=3 \quad\Rightarrow\quad b=a+3.
Agora use a+c=8. Escrevendo b e d em função de a e c:
b=a+3,\qquad d=c+2,\qquad a+c=8.
Isto dá uma família de soluções paramétrica: escolha um a qualquer, então
c=8-a,\qquad b=a+3,\qquad d=10-a.
Note que há um grau de liberdade (uma incógnita livre) porque as quatro equações originais não são independentes — a identidade da soma total faz com que o sistema tenha uma dependência linear. Portanto há infinitas soluções reais; se restringirmos a inteiros ou a não-negativos isso restringe a a um conjunto adequado.
Para dar uma solução simples e “bonitinha” (inteira e positiva) escolhemos, por exemplo, a=3. Assim
a=3,\quad b=a+3=6,\quad c=8-a=5,\quad d=10-a=7.
Verificação rápida:
3+5=8,\quad 3+7=10,\quad 6+5=11,\quad 6+7=13,
tudo confere.

Passo 4

Comentário sobre unicidade e família de soluções (o que é permitido na prova).
  • A solução não é única: qualquer valor de a (real) dá uma solução real pela fórmula (a,\;a+3) no primeiro disco e (8-a,\;10-a) no segundo disco. Por exemplo, a=0 dá discos (0,3) e (8,10); a=5 dá discos (5,8) e (3,5) (note que trocar discos ou trocar as faces não muda o conjunto dos totais).
  • Se exigirmos números inteiros não-negativos, então a pode ser escolhido entre 0 e 8 (inclusive) para que c=8-a e d=10-a sejam também inteiros não-negativos; se exigirmos inteiros estritamente positivos, a fica em 1,2,\dots,7.
  • Em provas normalmente basta fornecer uma solução concreta (como (3,6) e (5,7)) e explicar que não é única, dando a forma geral.

Passo 5

Resposta à pergunta (b): condição necessária e suficiente (explicação e construção).
Necessidade: Já vimos que se os totais vêm de dois discos então necessariamente
t_1+t_4=t_2+t_3,
porque ambos os lados valem a+b+c+d.
Suficiência (construção): se quatro números ordenados t_1\le t_2\le t_3\le t_4 satisfazem t_1+t_4=t_2+t_3, então existe uma marcação de dois discos que produz exatamente esses totais. Uma construção simples é escolher arbitrariamente a (por exemplo a=0), colocar c=t_1-a, d=t_2-a e b=t_3-c. Verifica-se que com essa escolha
a+c=t_1,\quad a+d=t_2,\quad b+c=t_3,\quad b+d=t_4,
usando a igualdade t_1+t_4=t_2+t_3 para garantir a última identidade. Portanto a condição é também suficiente.
Conclusão para (b): Nem todo conjunto de quatro números funciona; o critério exato é
\text{quatro números }t_1\le t_2\le t_3\le t_4\text{ são possíveis } \iff t_1+t_4=t_2+t_3.úãí

Passo 6

Resposta à pergunta (c): generalização para n discos (intuição com soma de diferenças, máximos e mínimos).
Se temos n discos, no disco i as faces valem x_i e y_i. Tome
B=\sum_{i=1}^n x_i
e defina as diferenças
d_i = y_i-x_i.
Então qualquer total possível é da forma
B+\sum_{i\in S} d_i,
onde S é um subconjunto de \{1,\dots,n\}. Portanto os totais possíveis são exatamente os valores obtidos somando subconjuntos do multiconjunto \{d_1,\dots,d_n\} e somando B.
Consequências:
  • O número máximo possível de totais distintos é 2^n (todas as escolhas de faces dão somas distintas). Esse máximo é atingível — por exemplo escolha d_i como potências de 2, d_i=2^{i-1}, então todas as somas de subconjuntos são diferentes.
  • O número mínimo possível de totais distintos depende das restrições:
    • Se permitirmos d_i=0 (faces iguais num disco), o número mínimo é 1 (todos os totais iguais).
    • Se exigirmos d_i\neq0 mas permitirmos repetições, um exemplo com todos os d_i iguais (por exemplo todos iguais a 1) produz exatamente n+1 totais distintos: B, B+1,\dots,B+n. Assim, sob a condição “cada disco tem duas faces com números distintos” e diferenças todas iguais, o número mínimo possível é n+1.
  • Em resumo: com n discos o número de totais distintos pode variar entre 1 e 2^n; se se assume que em cada disco as duas faces têm números diferentes (ou seja, d_i\neq0 para todo i), então o número mínimo possível é n+1 e o máximo é 2^n.

Resposta

(a) Por exemplo, uma solução é discos (3,6) e (5,7). Em geral há a família de soluções (a,a+3) e (8-a,10-a) para qualquer a (reais ou inteiros conforme a restrição).
(b) Nem todo conjunto de quatro números funciona; o critério necessário e suficiente é t_1+t_4=t_2+t_3 (com t_1\le t_2\le t_3\le t_4).
(c) Com n discos o número de totais distintos varia entre 1 e 2^n; se cada disco deve ter faces diferentes (diferenças não nulas) o mínimo possível é n+1 e o máximo é 2^n.

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