Prove que um número que não seja quadrado perfeito, tampouco terá raiz quadrada racional.

Passo 1

Vamos provar por contradição que, se um inteiro n>0 não é quadrado perfeito, então raizn não pode ser racional. Suponha o contrário, isto é, que exista uma fração irreduzível tfracpq com p,qinZ, q>0 e gcd(p,q)=1, tal que
raizn = pq

Passo 2

Elevando ao quadrado, obtemos
n = p^2q^2 Longrightarrow p^2 = n,q^2
Daí segue que q^2 divide p^2. Mas como gcd(p,q)=1, também gcd(p^2,q^2)=1. A única maneira de um inteiro q^2 dividir outro inteiro p^2 quando são primos entre si é ter q^2=1. Logo q=1.

Passo 3

Se q=1, então raizn = p é um inteiro, e portanto
n = p^2,
isto é, n seria um quadrado perfeito. Isso entra em contradição com a hipótese de que n não é quadrado perfeito.

Resposta

Portanto, nossa suposição de que raizn seria racional leva a uma contradição. Concluímos que, se n não é quadrado perfeito, então raizn é irracional.

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