Prove que um número que não seja quadrado perfeito, tampouco terá raiz quadrada racional.
Passo 1
Vamos provar por contradição que, se um inteiro
não é quadrado perfeito, então
não pode ser racional. Suponha o contrário, isto é, que exista uma fração irreduzível
com
,
e
, tal que
Passo 2
Elevando ao quadrado, obtemos
Daí segue que
divide
. Mas como
, também
. A única maneira de um inteiro
dividir outro inteiro
quando são primos entre si é ter
. Logo
.
Passo 3
Se
, então
é um inteiro, e portanto
isto é,
seria um quadrado perfeito. Isso entra em contradição com a hipótese de que
não é quadrado perfeito.
Resposta
Portanto, nossa suposição de que
seria racional leva a uma contradição. Concluímos que, se
não é quadrado perfeito, então
é irracional.