QUESTÃO 1 (2,5p pontos) Resolva as seguinte questão
a) Qual das seguintes transformações é linear? (diga porque)
T: R^2 R^2, T(x, y)=(x-a y, y) ; S: R^2 R^2, S(x, y)=(x-2 a, y+a). Reconhece o tipo (nome) das aplicações anteriores?. 1.5 p
b) Determine a determinante da matriz canônica associada a transformação linear T: P^2 R^3, T(a0+a1 x+a2 x^2)=(ca a0 -a a1+a0 a2) 1 p

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na letra (a) queremos verificar quais das aplicações
TcolonR^2toR^2,;T(x,y)=(x-a,y,y)
e
ScolonR^2toR^2,;S(x,y)=(x-2a,y+a)
são lineares e identificar o tipo geométrico de cada uma (cisalhamento, translação etc.). Na letra (b) é dada a transformação linear
Tcolon P^2toR^3,;T(a0+a1x+a2x^2)=l(a,a0,,-a,a1+a0,,a2r)
e precisamos montar sua matriz canônica e calcular o determinante.

Passo 2

Para TcolonR^2toR^2 definimos u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
T(u+v)=T(x1+x2,;y1+y2) =l((x1+x2)-a(y1+y2),;y1+y2r)
e
T(u)+T(v) =l(x1 - a y1,;y1r)+l(x2 - a y2,;y2r) =l((x1+x2)-a(y1+y2),;y1+y2r)
Também, para escalar lambda,
T(lambda u)=T(lambda x1,lambda y1) =l(lambda x1 - a,lambda y1,;lambda y1r) =lambda,T(u)
Logo T preserva soma e multiplicação por escalar, ou seja, é linear.

Passo 3

Para ScolonR^2toR^2 calculemos S(0,0):
S(0,0)=(0-2a,;0+a)=(-2a,;a)neq(0,0)
Como uma transformação linear deve enviar 0 em 0, S não é linear. Na prática vemos que há termos constantes (-2a,a), característicos de uma translação ou aplicação afim.

Passo 4

Classificação geométrica:\n
T não possui termo constante e “inclina” o eixo x em função de y; isso é um cisalhamento (shear) ao longo do eixo x.\n
S é uma translação (aplicação afim), pois soma vetores constantes a (x,y).

Passo 5

Agora a letra (b). Escolhemos a base canônica de P^2 como 1,x,x^2 e a base padrão de R^3. Para o polinômio a0+a1x+a2x^2 a imagem é
T(a0,a1,a2) =l(a,a0,; -a,a1+a0,;a2r)
Os vetores coluna da matriz M são as imagens de (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), ou seja:
M = a & 0 & 0 [6pt] 1 & -a & 0 [6pt] 0 & 0 & 1 ]

Passo 6

Calculamos o determinante de M. Como M é triangular por blocos,
det M = acdotdet-a&00&1 = al((-a)cdot1-0cdot0r) =-a^2

Resposta

(a) T é linear porque preserva soma e escalar; S não é linear pois não envia 0 em 0. Geometricamente, T é um cisalhamento e S é uma translação.
(b) det(M)=-a^2.

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