QUESTÃO 1 (2,5p pontos) Resolva as seguinte questão
a) Qual das seguintes transformações é linear? (diga porque) . Reconhece o tipo (nome) das aplicações anteriores?. 1.5 p
b) Determine a determinante da matriz canônica associada a transformação linear
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na letra (a) queremos verificar quais das aplicações TcolonR^2toR^2,;T(x,y)=(x-a,y,y)
e ScolonR^2toR^2,;S(x,y)=(x-2a,y+a)
são lineares e identificar o tipo geométrico de cada uma (cisalhamento, translação etc.). Na letra (b) é dada a transformação linear Tcolon P^2toR^3,;T(a0+a1x+a2x^2)=l(a,a0,,-a,a1+a0,,a2r)
e precisamos montar sua matriz canônica e calcular o determinante.
Passo 2
Para TcolonR^2toR^2 definimos u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
Logo T preserva soma e multiplicação por escalar, ou seja, é linear.
Passo 3
Para ScolonR^2toR^2 calculemos S(0,0):
S(0,0)=(0-2a,;0+a)=(-2a,;a)neq(0,0)
Como uma transformação linear deve enviar 0 em 0, S não é linear. Na prática vemos que há termos constantes (-2a,a), característicos de uma translação ou aplicação afim.
Passo 4
Classificação geométrica:\n
– T não possui termo constante e “inclina” o eixo x em função de y; isso é um cisalhamento (shear) ao longo do eixo x.\n
– S é uma translação (aplicação afim), pois soma vetores constantes a (x,y).
Passo 5
Agora a letra (b). Escolhemos a base canônica de P^2 como 1,x,x^2 e a base padrão de R^3. Para o polinômio a0+a1x+a2x^2 a imagem é
T(a0,a1,a2) =l(a,a0,; -a,a1+a0,;a2r)
Os vetores coluna da matriz M são as imagens de (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1), ou seja:
M = a & 0 & 0 [6pt] 1 & -a & 0 [6pt] 0 & 0 & 1 ]
Passo 6
Calculamos o determinante de M. Como M é triangular por blocos,
det M = acdotdet-a&00&1 = al((-a)cdot1-0cdot0r) =-a^2
Resposta
(a) T é linear porque preserva soma e escalar; S não é linear pois não envia 0 em 0. Geometricamente, T é um cisalhamento e S é uma translação.
(b) det(M)=-a^2.