Determine z de modo que o triângulo de vértices
e iz seja equilátero.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores de z∈ℂ tais que o triângulo de vértices i, z e iz seja equilátero. O conteúdo principal é geometria no plano complexo, e vamos precisar usar a condição de equilátero que impõe igualdade de distâncias entre os três vértices.
Passo 2
Para que o triângulo com vértices A=i, B=z e C=iz seja equilátero, basta garantir duas igualdades de distância (a terceira sai automaticamente). Escrevemos:
e
Usaremos propriedades de módulo e a relação iz - i = i(z - 1), e iz - z = z(i - 1).
Passo 3
Da igualdade
obtemos
Isto é,
onde escrevemos z = x + iy. Desenvolvendo e simplificando vem
Ou seja, z está na reta y = x.
Passo 4
Agora usamos
, logo
Com y = x, temos
e
Igualando,
Leva a
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática x^2 + x - 1/2 = 0 pelo fórmula de Bhaskara, obtemos
Como y = x, concluímos os dois valores de z.