Determine z de modo que o triângulo de vértices i, z e iz seja equilátero.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de z∈ℂ tais que o triângulo de vértices i, z e iz seja equilátero. O conteúdo principal é geometria no plano complexo, e vamos precisar usar a condição de equilátero que impõe igualdade de distâncias entre os três vértices.

Passo 2

Para que o triângulo com vértices A=i, B=z e C=iz seja equilátero, basta garantir duas igualdades de distância (a terceira sai automaticamente). Escrevemos:
|z - i| = |iz - i|
e
|z - i| = |iz - z|
Usaremos propriedades de módulo e a relação iz - i = i(z - 1), e iz - z = z(i - 1).

Passo 3

Da igualdade |z - i| = |iz - i| = |i(z - 1)| = |z - 1| obtemos
|z - i|^2 = |z - 1|^2
Isto é,
x^2 + (y - 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2
onde escrevemos z = x + iy. Desenvolvendo e simplificando vem
x = y
Ou seja, z está na reta y = x.

Passo 4

Agora usamos |z - i| = |iz - z| = |z(i - 1)| = |z|,|i-1| = raiz2, logo
|z - i|^2 = |z(i - 1)|^2 = 2|z|^2
Com y = x, temos
|z - i|^2 = x^2 + (x - 1)^2 = 2x^2 - 2x + 1,
e
2|z|^2 = 2igl(x^2 + x^2igr) = 4x^2 
Igualando,
2x^2 - 2x + 1 = 4x^2
Leva a
2x^2 + 2x - 1 = 0, extie x^2 + x - tfrac12 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática x^2 + x - 1/2 = 0 pelo fórmula de Bhaskara, obtemos
x = -1 pm raiz1 + 22 = -1 pm raiz32
Como y = x, concluímos os dois valores de z.

Resposta

z = -1 + raiz32(1 + i) ou z = -1 - raiz32(1 + i)

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