Prove que o produto de duas involuções é uma involução se, e somente se, elas comutam.

Passo 1

Resumindo, temos duas involuções f e g, isto é
f^2 = id e g^2 = id
Precisamos mostrar que o produto fg é também uma involução (ou seja, (fg)^2 = id) se, e somente se, f e g comutam ( fg = gf).

Passo 2

Direção “se comutam, então o produto é involução”. Suponha que
fg = gf
Então
(fg)^2 = fg,fg = funderbrace(gf)=fgg = f(fg)g = (ff)(gg) = id,id = id
Logo fg é involução.

Passo 3

Direção “se o produto é involução, então comutam”. Suponha que
(fg)^2 = id,
isto é
fg,fg = id
Multiplicando à esquerda por f e usando f^2=id temos
f,(fg,fg) = f Longrightarrow gfg = f
Agora multiplique à direita por g e use g^2=id:
(gfg),g = fg Longrightarrow gf = fg
Portanto f e g comutam.

Resposta

(fg)^2 = id se, e somente se, fg = gf.

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