Prove que o produto de duas involuções é uma involução se, e somente se, elas comutam.
Passo 1
Resumindo, temos duas involuções
e
, isto é
Precisamos mostrar que o produto
é também uma involução (ou seja,
) se, e somente se,
e
comutam (
).
Passo 2
Direção “se comutam, então o produto é involução”. Suponha que
Então
Logo
fg é involução.
Passo 3
Direção “se o produto é involução, então comutam”. Suponha que
isto é
Multiplicando à esquerda por
f e usando
f^2=id temos
Agora multiplique à direita por
g e use
g^2=id :
Portanto
f e
g comutam.