Prove que.
(c) Se f(x)=\operatorname{arctg} x, então f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a função
f(x)=\arctan x,
temos
f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
O conteúdo principal é derivação de função inversa, usando diferenciação implícita.

Passo 2

Defina y=f(x), ou seja
y=\arctan x.
Por definição de função inversa, isso equivale a
\tan y = x.

Passo 3

Diferencie ambos os lados de \tan y = x em relação a x. Usando a regra da cadeia no lado esquerdo:
\frac{d}{dx}(\tan y)=\operatorname{sec}^{2}y\cdot \frac{dy}{dx},
e no lado direito
\frac{d}{dx}(x)=1.
Logo
\operatorname{sec}^{2}y\cdot \frac{dy}{dx}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}y}.

Passo 4

Use a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y. Como \tan y=x, segue
\frac{dy}{dx} =\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}y} =\frac{1}{1+\tan^{2}y} =\frac{1}{1+x^{2}}.
Mas \frac{dy}{dx}=f'(x), logo essa é a derivada desejada.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.

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