Prove que
(|
\cdot|
) define uma norma no espaço vetorial
(V
)
(V=M_{m n},||A||=\max {i j}\left{\left|a{i j}\right|\right}
)
Passo 1
O enunciado pede para provar que, no espaço vetorial das matrizes reais , a aplicação
satisfaz as três propriedades de uma norma: (i) |A|>=0 com igualdade se e só se A=0, (ii) |alpha A|=|alpha|,|A| para todo escalar alpha, e (iii) |A+B|<=|A|+|B|.
Passo 2
Positividade e definitude. Como l|aijr|>=0 para todo i,j, o máximo desses valores também é não negativo, logo |A|>=0. Se |A|=0, então maxi,j|aij|=0 implica |aij|=0 para todo i,j, ou seja, todos os aij=0 e A é a matriz nula. Recíproco óbvio.
Passo 3
Homogeneidade absoluta. Para qualquer escalar alpha e qualquer matriz A, cada entrada de alpha A é (alpha A)ij=alpha,aij, então