Prove que
(|
\cdot|
) define uma norma no espaço vetorial
(V
)
(V=M_{m n},||A||=\max {i j}\left{\left|a{i j}\right|\right}
)

Passo 1

O enunciado pede para provar que, no espaço vetorial V = Mmtimes n das matrizes reais mtimes n, a aplicação
|A| ;=;max1<= i<= m,;1<= j<= nl|aijr|
satisfaz as três propriedades de uma norma: (i) |A|>=0 com igualdade se e só se A=0, (ii) |alpha A|=|alpha|,|A| para todo escalar alpha, e (iii) |A+B|<=|A|+|B|.

Passo 2

Positividade e definitude. Como l|aijr|>=0 para todo i,j, o máximo desses valores também é não negativo, logo
|A|>=0. Se |A|=0, então maxi,j|aij|=0 implica |aij|=0 para todo i,j, ou seja, todos os aij=0 e A é a matriz nula. Recíproco óbvio.

Passo 3

Homogeneidade absoluta. Para qualquer escalar alpha e qualquer matriz A, cada entrada de alpha A é (alpha A)ij=alpha,aij, então
|alpha A| =maxi,jl|alpha,aijr| =maxi,jl|alphar|;l|aijr| =l|alphar|;maxi,jl|aijr| =l|alphar|;|A|

Passo 4

Desigualdade triangular. Para duas matrizes A e B temos (A+B)ij=aij+bij, e pela desigualdade triangular dos reais
l|aij+bijr|;<=;l|aijr|+l|bijr| ;<=;|A|+|B|
Tomando o máximo em i,j no lado esquerdo, conclui-se
|A+B|;=;maxi,jl|aij+bijr|;<=;|A|+|B|

Resposta

Portanto, |A|=maxi,j|aij| satisfaz as três propriedades de norma em Mmtimes n, sendo assim de fato uma norma.

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