1. Prove:
|x+y|=|x|+|y| Leftrightarrow xy >= 0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra provar a seguinte equivalência em |x+y| = |x| + |y| Long<=ftrightarrow xy >= 0 :
|a| = a, & a >= 0, -,a, & a < 0,
O conteúdo aqui é valor absoluto e a desigualdade triangular, além de análise de casos pelo sinal de |x+y| <= |x| + |y| e . Vamos usar a definição
e a propriedade básica

Passo 2

Prova de “ |x+y| = |x| + |y| ”: suponha que
xcdot y >= 0
Sabemos sempre que |x+y|<|x|+|y| (desigualdade triangular). Acontece que essa desigualdade só vira igualdade quando e têm o mesmo “sentido” real, ou seja, quando um não está virado pro lado positivo e o outro pro lado negativo. Em termos algébricos, isso significa que
👉 Intuição: se um é positivo e o outro negativo, “anula” parte do outro e aí sai estritamente menor:
Como supusemos igualdade, não pode ser sinal oposto, então .

Passo 3

Prova de “ |x|=x, |y|=y, |x+y|=x+y, ”: agora suponha |x+y| = x+y = |x|+|y| . Isso significa que |x| = u, |y|=v, x+y = -(u+v) implies |x+y| = u+v e |x+y| = |x|+|y| ou os dois são , ou os dois são .
  • Se e , então logo
  • Se e , escrevemos , com . Então Mas também . Então de novo

Resposta

Provamos que se e somente se , então . Portanto a equivalência está demonstrada.

Exercícios relacionados