- Prove:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra provar a seguinte equivalência em
:
O conteúdo aqui é valor absoluto e a desigualdade triangular, além de análise de casos pelo sinal de
e
. Vamos usar a definição
e a propriedade básica
Passo 2
Prova de “
”: suponha que
Sabemos sempre que
(desigualdade triangular). Acontece que essa desigualdade só vira igualdade quando
e
têm o mesmo “sentido” real, ou seja, quando um não está virado pro lado positivo e o outro pro lado negativo. Em termos algébricos, isso significa que
👉 Intuição: se um é positivo e o outro negativo,
“anula” parte do outro e aí sai estritamente menor:
Como supusemos igualdade, não pode ser sinal oposto, então
.
Passo 3
Prova de “
”: agora suponha
. Isso significa que
e
ou os dois são
, ou os dois são
.
- Se
e , então logo - Se
e , escrevemos , com . Então Mas também . Então de novo
Resposta
Provamos que se e somente se
, então
. Portanto a equivalência está demonstrada.