Prove que se
e
, então
e
são os vértices de um triângulo eqüilátero inscrito no círculo unitário de centro na origem. Faça um gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se temos três números complexos
tais que
então os pontos correspondentes no plano formam um triângulo equilátero inscrito no círculo unitário centrado na origem.
Conteúdo: geometria dos números complexos, uso de rotações e raízes da unidade.
Conteúdo: geometria dos números complexos, uso de rotações e raízes da unidade.
Passo 2
Como
, podemos dividir a condição
por
, obtendo
Defina
Então
e a equação vira
Passo 3
A relação
é característica das raízes cúbicas da unidade não triviais. De fato, os três números
satisfazem
Como
e
, concluímos que
Passo 4
Voltando às
, temos
Isso mostra que, partindo de
, os outros vértices são obtidos por rotações de
(ou
rad) e
(ou
rad) em torno da origem. Geometricamente, esses três pontos formam um triângulo equilátero cujo circuncentro é a origem e todos os vértices estão a distância 1 (círculo unitário).
Passo 5
Gráfico: desenhe o círculo de raio 1 centrado em
. Marque um ponto genérico
na circunferência, e a partir dele marque os pontos
e
. A conexão
é um triângulo equilátero inscrito.
Resposta
Os três pontos formam de fato um triângulo equilátero inscrito no círculo unitário.