Prove que se |z1|=|z2|=|z3|=1 e z1+z2+z3=0, então z1, z2 e z3 são os vértices de um triângulo eqüilátero inscrito no círculo unitário de centro na origem. Faça um gráfico.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se temos três números complexos ,z1,z2,z3 tais que
|z1|=|z2|=|z3|=1 e z1+z2+z3=0,
então os pontos correspondentes no plano formam um triângulo equilátero inscrito no círculo unitário centrado na origem.
Conteúdo: geometria dos números complexos, uso de rotações e raízes da unidade.

Passo 2

Como |z1|=1, podemos dividir a condição z1+z2+z3=0 por z1neq0, obtendo
1 + z2z1 + z3z1 = 0
Defina
w2 = z2z1, w3 = z3z1
Então |w2|=|w3|=1 e a equação vira
1 + w2 + w3 = 0

Passo 3

A relação
1 + w2 + w3 = 0 com |w2|=|w3|=1
é característica das raízes cúbicas da unidade não triviais. De fato, os três números
1, e^i2pi3, e^i4pi3
satisfazem
1 + e^i2pi3 + e^i4pi3 = 0
Como |w2|=|w3|=1 e w2,w3neq1, concluímos que
w2,w3 = le^i2pi3,,e^i4pi3r

Passo 4

Voltando às z, temos
z2 = z1,w2 = z1,e^i2pi3, z3 = z1,w3 = z1,e^i4pi3
Isso mostra que, partindo de z1, os outros vértices são obtidos por rotações de 120^circ (ou tfrac2pi3 rad) e 240^circ (ou tfrac4pi3 rad) em torno da origem. Geometricamente, esses três pontos formam um triângulo equilátero cujo circuncentro é a origem e todos os vértices estão a distância 1 (círculo unitário).

Passo 5

Gráfico: desenhe o círculo de raio 1 centrado em 0. Marque um ponto genérico z1 na circunferência, e a partir dele marque os pontos z2 = z1 e^i,120^circ e z3 = z1 e^i,240^circ. A conexão z1z2z3 é um triângulo equilátero inscrito.

Resposta

Os três pontos formam de fato um triângulo equilátero inscrito no círculo unitário.

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