1. Prove que para todo poliedro valem as desigualdades 2 A \geq 3 V, onde A e F denotam, respectivamente, o número de arestas e o número de faces do poliedro.

Passo 1

O enunciado pede para um poliedro com A arestas e F faces provar que
2A \ge 3F.
Para isso, faremos uma contagem dupla das incidências entre faces e arestas.

Passo 2

Contagem pelas faces: cada face é um polígono com pelo menos três lados, então toda face participa de no mínimo três incidências “face–aresta”. Assim, o total de incidências satisfaz
\sum_{f\;\text{face}} \deg(f)\;\ge\;3F.

Passo 3

Contagem pelas arestas: cada aresta está contida exatamente em duas faces, de modo que o total de incidências é
2A.
Como ambas as contagens medem o mesmo conjunto de pares (face, aresta), temos
2A \ge 3F.

Resposta

A desigualdade 2A \ge 3F vale para todo poliedro.

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