- Prove que para todo poliedro valem as desigualdades
, onde A e F denotam, respectivamente, o número de arestas e o número de faces do poliedro.
Passo 1
O enunciado pede para um poliedro com
arestas e
faces provar que
Para isso, faremos uma contagem dupla das incidências entre faces e arestas.
Passo 2
Contagem pelas faces: cada face é um polígono com pelo menos três lados, então toda face participa de no mínimo três incidências “face–aresta”. Assim, o total de incidências satisfaz
Passo 3
Contagem pelas arestas: cada aresta está contida exatamente em duas faces, de modo que o total de incidências é
Como ambas as contagens medem o mesmo conjunto de pares (face, aresta), temos
Resposta
A desigualdade
vale para todo poliedro.