(a) Prove, a partir da definição, que se f(x)=1 / x, então f^prime(a)=-1 / a^2, para a neq 0.
(b) Prove que a reta tangente ao gráfico de f em ( a, 1 / a ) não intersecta o gráfico de f, exceto em (a, 1 / a).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) usar a definição de derivada por limite para provar que, para f(x)=1/x e aneq0,
f'(a)=-1a^2,
e (b) mostrar que a reta tangente ao gráfico de f no ponto l(a,tfrac1ar) só intersecta esse gráfico nesse ponto. Vamos usar a definição de derivada, em seguida obter a equação da reta tangente e finalmente estudar a interseção com y=1/x.

Passo 2

Pela definição de derivada temos
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a =limxto a1x-1ax-a

Passo 3

No quociente fazemos a operação algébrica
1x-1ax-a =a-xaxx-a =a-xax(x-a) =-1ax

Passo 4

Como xto a temos
limxto al(-1axr) =-1a^2,
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f'(a)=-1a^2

Passo 5

A reta tangente em l(a,tfrac1ar) tem coeficiente angular m=f'(a)=-tfrac1a^2 e passa por l(a,tfrac1ar). Sua equação ponto-declive é
y-1a =-1a^2,(x-a)

Passo 6

Reescrevendo em forma explícita obtemos
y=-xa^2+2a

Passo 7

Para ver onde essa reta encontra o gráfico de f, igualamos y=1/x a y=-x/a^2+2/a:
1x=-xa^2+2a
Multiplicando ambos os lados por x,a^2 resulta
a^2=-x^2+2ax Long<=ftrightarrow x^2-2ax+a^2=0

Passo 8

O discriminante desse polinômio é
De<a=(2a)^2-4cdot1cdot a^2=0,
logo há raiz dupla x=a. Assim a reta e o gráfico se tocam apenas em x=a, o que dá o único ponto de interseção l(a,tfrac1ar).

Resposta

(a) f'(a)=-1a^2
(b) A reta tangente ao gráfico de f em l(a,tfrac1ar) intersecta o gráfico apenas nesse ponto.

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