(a) Prove, a partir da definição, que se
, então
, para
.
(b) Prove que a reta tangente ao gráfico de
em (
) não intersecta o gráfico de
, exceto em
.
(b) Prove que a reta tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) usar a definição de derivada por limite para provar que, para e
,
(a) usar a definição de derivada por limite para provar que, para
e (b) mostrar que a reta tangente ao gráfico de
no ponto
só intersecta esse gráfico nesse ponto. Vamos usar a definição de derivada, em seguida obter a equação da reta tangente e finalmente estudar a interseção com
.
Passo 2
Pela definição de derivada temos
Passo 3
No quociente fazemos a operação algébrica
Passo 4
Como
temos
logo
Passo 5
A reta tangente em
tem coeficiente angular
e passa por
. Sua equação ponto-declive é
Passo 6
Reescrevendo em forma explícita obtemos
Passo 7
Para ver onde essa reta encontra o gráfico de
, igualamos
a
:
Multiplicando ambos os lados por
resulta
Passo 8
O discriminante desse polinômio é
logo há raiz dupla
. Assim a reta e o gráfico se tocam apenas em
, o que dá o único ponto de interseção
.
Resposta
(a)
(b) A reta tangente ao gráfico de em
intersecta o gráfico apenas nesse ponto.
(b) A reta tangente ao gráfico de